"HP Pavilion a 6723 fr Intel Pentium Dual Core E 2220 2.4 GHz / 4 Go / 500 Go / Win Vista Home Premium /carte graphique: Radeon HD 4650, interface: PCI-E, memory size: 512MB"

Je vais traiter ta config pas à pas.
D'une part, tu as un E2200, vieillot, trop pour faire tourner n'importe quel jeu récent.
Il est accompagné de 4 Go de RAM si j'ai bien compris, ce qui est largement suffisant cependant pour du jeu.
D'autre part tu as une HD 4650, vieillote elle aussi mais qui devrait suffire à ne serait-ce que lancer un jeu récent pas trop gourmand et pouvoir y jouer en Low/Med.
Enfin, tu as un PC HP, c'est à dire que l'alim est à changer en cas d'acquisition d'un processeur ou d'une Cg qui consomme plus.
De plus la carte mère, même si tu parvenais à trouver ses références, n'aura donc pas forcément de documentation en ligne permettant de s'assurer si oui ou non elle supporterait un changement de processeur.

Pour résumer, le point le plus faible dans ton cas est le processeur, hors le manque très probable de documentations sur ta carte mère t'obligeront à changer aussi la carte mère. De plus en prenant un processeur plus puissant et donc plus énergivore, par mesure de sécurité il serait bon de changer d'alim, histoire de s'assurer que ton matos ne grille pas à peine allumé.

Voilà, mon VDD à bien résumé la chose. Pour le boitier tu vera plus tard, à moins qu'il ne soit absolument pas ventilé. Le soucis c'est que la Ram est en DDR2 si elle date de la carte mère, qui date du E 2220, et à cette "epoque" c'était la ddr2 qui régnait. IL faut donc nous dire aussi si la ram est bien en DDR2

https://h10025.www1.hp.com/ewfrf/wc/document?docname=c01637972&cc=fr&dlc=fr&lc=fr&product=3876659
"Vitesse : PC2(...)"
-> C'est de la DDR2.

En passant :
"La carte mère prend en charge les mises à niveau du processeur suivantes :

Intel Core 2 Quad (Y) Q9xxxx
Intel Core 2 Duo (W) E8xxx
Intel Core 2 Quad (K) jusqu'à Q6600
Core 2 Duo E6x00 (C) jusqu'à E6700
Core 2 Duo E4x00 (C) jusqu'à E4400"

J'oubliais qu'HP fournissait parfois ce type d'informations.

Bref, un Q6600 ou un E8#00 d'occasion par exemple donnerait un bon coup de boost à ton PC tout en restant compatible d'après le site officiel HP.
Il faudrait cependant comme je l'ai dis penser à changer l'alimentation pour s'assurer à ne pas avoir de problème.

Un double post juste pour préciser un chose :
Quand on parle de changer d'alimentation, ça n'est pas seulement du fait que ton alim délivre trop peu de puissance. C'est aussi et surtout qu'elle n'est pas de bonne qualité et est mal protégée, or c'est bien le composant le plus dangereux du PC.

Avant achat d'une alim renseigne toi sur le net, poste sur ce forum ou en tous cas ne la prends pas sur un coup de tête et sur recommandations d'une vendeur prêt à te dire n'importe quoi pour faire du chiffre.

Si tu le souhaites voici quelques conseils :
- éviter les marques Advance, Heden, LC Power ou autres (Mad-X ...)
- toujours se méfier d'une alim à moins d'1€/10W sauf cas exceptionnels (Fortron HEXA par exemple)
- privilégier les marques connues et reconnues (Cooler Master, Fortron, Antec, BeQuiet!, Seasonic, ...)
- privilégier les alimentations certifier 80+