On continue notre petit voyage dans les chiffres!!
LA GRECE ANTIQUE
Si notable que soit la contribution de l´Antiquité au progrès des mathématiques en dehors de la Grèce, l´apport de celle-ci est incomparablement supérieur. Pour comprendre ce « miracle », il convient de ne pas isoler l´histoire des mathématiques de l´histoire générale de la pensée. La création mathématique grecque procède essentiellement d´un idéal de pensée désintéressé, d´un souci de rationalité, de logique dont Aristote devait apporter la formulation la plus élaborée. On comprend alors la rigueur et l´esprit de synthèse qui marquent les mathématiques grecques.
Le terme géométrie provient du grec gê ( la Terre) et metron ( mesure). Dans ce contexte géométrique, l´objectif originel des anciens fut de rechercher des solutions à leurs problèmes d´arpentage et de construction ( au sens architectural) mais aussi de comprendre les lois régissant notre monde ( astronomie, du grec nomos : loi).
Pour ce faire, ils développèrent l´arithmétique ( du grec arithmêtikê, mot à mot : qui est en rapport avec le nombre : arithmos ) , le calcul fractionnaire ( tout particulièrement l´étude des proportions) et perfectionnèrent ou inventèrent les premiers instruments d´observation astronomique : les cadrans solaires ( gnomons) hérités des Chaldéens ( et Egyptiens), l´astrolabe dû à Hipparque, pour mesurer la hauteur des astres par rapport à l´horizon.
Les Grecs utilisaient un système de numération décimal additionnel codé au moyen de leur alphabet ( lettres minuscules accentuées). Pour leurs comptes, ils utilisaient des abaques ( du grec abax = tablette) : tablettes à rainures où glissaient des jetons, ancêtres des bouliers chinois.
Des mathématiciens grecs y en a eu des kilos un petit rappel des principaux.
Thales de Milet :
Astronome ( il expliqua le phénomène des éclipses) commerçant, ingénieur et philosophe. On peut le considérer comme le père de la géométrie déductive grecque ( en grec, gê = terre et metron = mesure), 300 ans avant Euclide, héritée des Babyloniens et des Égyptiens. Thalès " prouva" :
qu´un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables.
que les angles à la base d´un triangle isocèle ( i.e. qui a deux côtés de même mesure) sont superposables ( de même mesure)
que deux angles " opposés par le sommet" ( formés par deux droites sécantes) sont superposables ( même mesure).
Thalès fonda l´École ionienne où il enseigna principalement l´astronomie. Il y affirme la sphéricité de la Terre -déduite de l´observation de l´ombre de la Terre sur la Lune- et l´inclinaison de l´écliptique ( du grec ekleipsis = éclipse, ekleiptikos = orbite du soleil, plan où se produisent les éclipses) : l´orbite apparente du Soleil autour de la Terre est inclinée par rapport au plan de l´équateur terrestre. Plus tard, Euclide, à l´époque d´Aristarque, sans doute influencé par des idées platoniciennes, estimait l´obliquité de l´écliptique à 24° et correspondant donc à l´angle sous lequel on voit le côté du pentadécagone ( dit aussi pentédécagone) régulier ( 15 côtés). Remarquable est sa conviction que la Terre tourne autour du Soleil : héliocentrisme ( le Soleil est au centre de notre système planétaire). Cette pensée sera reprise par Pythagore mais, réfutée par Aristote. le géocentrisme ( la Terre est au centre de notre système planétaire) eut longue vie jusqu´à Copernic : 2000 ans d´errance...
Euclide :
On ne possède pas d´informations précises sur la vie d´Euclide et sur la période précise où il vécut. Il semble avoir été dans la force de l´âge vers -285 avant J.-C., qu´il étudia à Athènes à l´École des successeurs de Platon et qu´il s´établit à Alexandrie, sur l´invitation de Ptolémée II, roi d´Égypte, où Apollonius fut un de ses élèves.
Heureusement, ses Éléments, oeuvre monumentale en treize livres, nous sont parvenus et auront marqué toutes les générations de mathématiciens jusqu´à nos jours : synthèse des mathématiques connues à son époque auxquelles il apporte compléments, démonstrations et rigueur en arithmétique, algèbre et géométrie.
La diversité du style de la rédaction fait penser à certains historiens qu´il ne fut pas seul à les rédiger à l´instar des Éléments de mathématique de Bourbaki... Mais ce ne sont que des spéculations.
Les quatre premiers volumes sont consacrés à la géométrie plane ( livres I à IV). Cette dernière est mise en place au moyen de cinq postulats ( les demandes) et de neuf axiomes relatifs aux grandeurs ( les notions communes) à l´usage de la géométrie et du calcul.
Les Éléments traitent par ailleurs des calculs fractionnaires à travers la théorie des proportions empruntée à Eudoxe, de l´arithmétique ( étude des entiers naturels, divisibilité et nombres premiers) et des nombres irrationnels découverts par les Pythagoriciens.
Les derniers livres sont consacrés aux aires et aux volumes des configurations usuelles du plan et de l´espace, reprise des travaux d´ Eudoxe et Théétete, avec l´étude des polyèdres réguliers : Livre XIII, propositions XIV à XVIII précédées de 13 propositions préliminaires. Il faudra attendre Archimède pour connaître le volume de la sphère et l´aire de sa surface).
Pythagore de SAMOS :
Astronome, philosophe, musicologue, cet illustre savant nous est connu par les Pythagoriciens ( ou Pythagoréens), ses disciples. Personnage mythique pour ces derniers ( il serait le fils d´Apollon), il créa son école à Crotone, laquelle devint rapidement une secte aux règles de vie très sévères. Devenant alors dérangeant, persona non grata, il mourra assassiné.
On lui attribue, en son école, l´origine du terme mathématiques au sens grec de mathematikos = celui qui veut apprendre ( scientifiquement), forgé sur mathêma = ce qui est enseigné, la connaissance. Pythagore est le premier théoricien de la technique des nombres, en un mot : l´arithmétique. Pour Pythagore, disciple de Thalès, la terre est sphérique et tourne sur elle-même autour du Soleil ( héliocentrisme). Cette théorie fut hélas invalidée par Eudoxe, Aristote et Ptolémée ( géocentrisme) et plongea le monde dans l´erreur pendant 2000 ans jusqu´à l´entrée en scène de Galilée et de Copernic.
Le célèbre théorème de Pythagore 
Il affirme que dans un triangle ABC rectangle en A, le carré du côté qui sous-tend l´angle droit ( hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Zénon d´ELEE :
Philosophe, disciple ( fils, pour certains historiens) de Parménide qui fonda l´école d´Élée : les Éléates développèrent une philosophie fondée sur la dialectique ( débat contradictoire susceptible de conduire à la vérité) et la logique affirmant l´unicité de l´Être, c´est à dire la réalité transcendante, non pas celle qui nous apparaît : l´Opinion ( doxa) qui est trompeuse : l´Être est, le non Être n´est pas. Par suite, l´Être est un ( unique), indivisible, continu et immuable, il n´a ni commencement ni fin. La pluralité n´est donc pas et le mouvement est impossible. Le contraire n´est qu´apparence... Dans le même ordre d´idées, pour Zénon, l´espace lui-même ne peut exister car il implique l´existence d´un espace " plus grand" le contenant. Dans cette philosophie, la clé implicite est l´infini. Quel sens lui donner ?
Afin de défendre ces principes, Zénon énonce ses célèbres paradoxes, comme celui de la flèche qui ne peut se mouvoir ou celui d´Achille ne pouvant rattraper la tortue qui trottine devant lui, rapportés par Simplicius ( philosophe contemporain de Zénon), Platon ( "Le Parménide") et Aristote ( "La Physique"). Selon ce dernier, Zénon est le premier à définir le principe de dichotomie ( de dikha = deux parties et temein = couper) qui conduira Eudoxe et Archimède à la méthode d´exhaustion.
Paradoxe de la flèche : Zénon a une vision atomiste de l´espace et du temps. Une flèche occupant à chaque instant un espace égal à son volume, elle ne peut se mouvoir ni dans l´espace où elle se trouve, encore moins dans celui où elle ne se trouve pas. Son mouvement est donc impossible.
Utilisons des notations " modernes" : si le temps et l´espace sont constitués d´instants et d´emplacements insécables, la flèche est à chaque instant tn en un emplacement déterminé en. A l´instant tn+1 suivant, elle devrait être en un emplacement en+1 : ceci n´est pas possible car pour passer de en à en+1 , il lui faudrait un certain temps. Or, entre tn et tn+1, il n´y a, par hypothèse, aucun instant.
Aux partisans de la divisibilité à l´infini de l´espace et du temps, Zénon rétorque par la dichotomie : si on intercale des couples " espace-temps" supplémentaires, le problème est alors récurrent : l´espace doit être divisé à l´infini et la flèche devra d´abord parcourir la moitié de la distance qui la sépare de sa cible, puis la moitié de la distance restante et ainsi de suite indéfiniment car la moitié d´une distance non nulle ne sera jamais nulle. Ainsi, dans les deux hypothèses, la flèche n´atteindra pas la cible : le mouvement est impossible !
Paradoxe d´Acille et la tortue: Achille voit une tortue en avant sur son chemin. Il se met à courir pour la rattraper mais malgré sa grande vélocité, il ne pourra y arriver : les raisons sont sensiblement les mêmes que ci-dessus : car lorsque Achille atteint la place qu´occupait la tortue, cette dernière a avancé; il doit donc atteindre maintenant la place qu´elle occupe alors, et ainsi de suite...
DEMOCRITE :
Philosophe, mathématicien -il apprit la géométrie auprès des Égyptiens- savant renommé, contemporain de Socrate et du célèbre médecin Hippocrate de Cos ( à distinguer du mathématicien Hippocrate de Chios).
A la suite de nombreux voyages, il fonda une école de philosophie à Abdère, sa ville natale. On lui doit la première théorie atomiste de la matière, héritée de ses maîtres Anaxagore et Leucippe : outre de vide, la matière est constituée de particules indivisibles dont les multiples combinaisons engendrent tant les âmes que les corps.
C´est par Aristote que les idées de Démocrite nous furent transmises car aucun de ses écrits ne nous ait parvenu. On lui attribue des travaux sur les nombres irrationnels et les premiers calculs sur le volume du cône et de la pyramide.
ARCHIMEDE de SYRACUSE :
Célèbre mathématicien, ingénieur et physicien, fils d´astronome, ami d´Eratosthène à Alexandrie où il fut l´élève d´Euclide. Archimède inventa des machines de guerre pour repousser les Romains lors du siège de Syracuse. Il fut alors tué par un soldat romain. Marcellus, commandant de l´armée romaine, ordonna des funérailles solennelles en hommage à ce grand savant.
En physique, on lui doit en particulier les premières lois de l´hydrostatique ( poussée d´Archimède) et une étude précise sur l´équilibre des surfaces planes ( égalité des moments, principe du levier et la phrase fameuse : donnez-moi un point d´appui, je soulèverai le monde). Ci-contre, deux poids p et p´ sont suspendus à une barre ( homogène) AB en équilibre, l´équilibre est obtenu si ap = bp´. Ainsi si p est deux fois plus grand que p´, alors b = 2a : le " bras" de levier est inversement proportionnel à la masse.
En physique, on lui doit en particulier les premières lois de l´hydrostatique ( poussée d´Archimède) et une étude précise sur l´équilibre des surfaces planes ( égalité des moments, principe du levier et la phrase fameuse : donnez-moi un point d´appui, je soulèverai le monde). Ci-contre, deux poids p et p´ sont suspendus à une barre ( homogène) AB en équilibre, l´équilibre est obtenu si ap = bp´. Ainsi si p est deux fois plus grand que p´, alors b = 2a : le " bras" de levier est inversement proportionnel à la masse.
En physique, on lui doit en particulier les premières lois de l´hydrostatique ( poussée d´Archimède) et une étude précise sur l´équilibre des surfaces planes ( égalité des moments, principe du levier et la phrase fameuse : donnez-moi un point d´appui, je soulèverai le monde). Ci-contre, deux poids p et p´ sont suspendus à une barre ( homogène) AB en équilibre, l´équilibre est obtenu si ap = bp´. Ainsi si p est deux fois plus grand que p´, alors b = 2a : le " bras" de levier est inversement proportionnel à la masse.
La découverte de la poussée d´Archimède est liée à Hiéron, roi de Syracuse, qui lui avait demandé de vérifier si sa couronne était faite d´or pur :
Tout corps plongé dans un liquide subit de la part de celui-ci, une poussée exercée du bas vers le haut, et égale, en intensité, au poids du liquide déplacé.
Ayant découvert cette loi en prenant son bain, il se serait précipité nu dans les rues de la ville, en criant Eurêka!...Eurêka! ( j´ai trouvé!... j´ai trouvé!).
Une partie d´une copie de son manuscrit fut retrouvé à Constantinople en 1907 sous la forme d´un palimpseste : le texte du parchemin a été gratté et le support réutilisé pour une page de la Bible.
Dans son traité, La mesure du cercle, utilisant la méthode dite des périmètres, Archimède approche la circonférence du cercle par les périmètres de polygones réguliers inscrits et exinscrits et donne un bon encadrement de p en utilisant 96 côtés.
Archimède prouva aussi l´équivalence entre le problème de la quadrature du cercle et celui de sa rectification ( construire un segment dont la longueur est la circonférence d´un cercle donné).
Archimède établit de nombreuses formules relatives aux aires ( dont celle située sous un arc de parabole), aux mesures des surfaces ( celle de la sphère est 4 fois celle du cylindre dont la hauteur est égale au diamètre : 4pr2) et des volumes ( dont celui de la sphère qu´il évalue à sa valeur exacte : 4pr3/3). Ces résultats sont obtenus par la méthode exhaustion présente dans les Éléments d´Euclide et dont l´initiateur fut Eudoxe. Elle repose sur l´axiome suivant, dit d´Archimède : En soustrayant de la plus grande de deux grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite, on obtiendra ( i.e. on finira par obtenir en réitérant le procédé un nombre fini de fois) une grandeur moindre que la plus petite.
Archimède apparaît ainsi comme un génial précurseur du calcul infinitésimal. Ce principe que reprendra Cavalieri au 17è siècle, permettra encore plus tard d´approcher finement les nombres irrationnels et à Dedekind de construire les réels par les " coupures". Alliée à la théorie des proportions d´Eudoxe, la méthode d´exhaustion conduira Archimède à ce résultat remarquable :
l´aire sous la parabole ( délimitée par la corde [AB] et l´arc de parabole) est exactement les 4/3 de l´aire du triangle ABC, C désignant le point de la parabole où la tangente ( T) est parallèle à ( AB).
To be continued
![[capek]](https://image.jeuxvideo.com/avatar-md/default.jpg)
moi aussi
To be continued
