"1. On suppose m ≤ 4.
m = 1 (F) devient : 7n – 6 = 1 Û 7n = 7 Û n = 1
m = 2 (F) devient : 7n – 12 = 1 Û 7n = 13 Û pas de solution
m = 3 (F) devient : 7n – 24 = 1 Û 7n = 25 Û pas de solution
m = 4 (F) devient : 7n – 48 = 1 Û 7n = 49 Û n = 2
Il y a donc exactement deux couples solutions : (1, 1) et (2, 4).
2. On suppose maintenant que m ≥ 5.
a. Soit un couple (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation : 7n – 3 × 2m = 1 (F).
donc 7n = 1 + 3 × 2m
7n = 1 + 3 ´ 2m – 5 + 5
7n = 1 + 3 ´ 2m – 5 ´ 25 m ≥ 5 donc m – 5 ≥ 0
7n = 1 + 3 ´ 2m – 5 ´ 32 3 ´ 2m – 5 Î IN
Donc 7n
≡ 1 (mod 32).
Donc si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n
≡ 1 (mod 32)."
OMG j'ai la correction du DM sur Internet, je suis sauvé.