Partie A

a désigne un réel non nul et n un entier naturel non nul.
Démontrer que ((a^n)-1)=(a-1)((a^(n-1))+(a^(n-2))+...+(a^0))

Partie B : Recherche d´un PGCD

1)On considère l equation d inconnue (n,m) ou m et n sont des entiers relatifs.
11n-24m=1 (1)

a)Justifier a l aide de l enoncé d un theroreme que cette equation admet au moins une solution.

b)En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer une solution particulière de l equation (1)

c)Déterminer l ensemble des solutions de l equation (1)

2)a)Justifier que 9 divise 10^11 -1 et 10^24 -1.

b) (n,m) désignant un couple quelconque d entiers naturels solutions de (1) montrer que l on peut ecrire : ((10^(11n))-1)-10((10^(24m))-1)=9

c)Montrer que (10^11)-1 divise (10^(11n))-1 et que (10^24)-1 divise (10^(24m))-1.
(On pourra utiliser la partie A).

Déduire de la question précédente l´existence de deux entiers N et M tels que : ((10^(11))-1)N-((10^(24))-1)M=9

d)Montrer que tt divisuer commun a (10^11)-1 et (10^24)-1 divise 9.

e)Déduire des questions précédentes le PGCD de (10^11)-1 et (10^24)-1.

Partie C : Nombres premiers

1)Le nombre (2^11)-1 est il premier ? JuSTIFier.

2)p et q étant 2 entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par (2^p)-1 du nombre (2^pq)=(2^p)^q ?
En déduire que (2^pq)-1 est divisibl par ((2^p)-1) et par ((2^q)-1).
(Pour cette question 2 on pourra utiliser la partie A)

3)Démontrer que si (2^n)-1 est premier alors n est premier.
La réciproque est elle vraie ?

voila merci pr votre aide

Bon je commence

a)Bezout
b)tu divises 24 par 11 et ainsi de suite en divisant les quotients par les restes jusquà obtenir un reste 1 :
24=11*2+2
11=2*5+1

donc : n=11 et m=5

c)l´ensemble des sol c´est l´application du thm de gauss a partir du systeme :
11n-24m=1
11*11-24*5=1
tu soustrais et t´appliques Gauss (puisque 11 et 24 sont premiers entre eux) tu trouves des solutions, il faut ensuite les vérifier puisqu´on a travaillé par implications.

2)
a)

10^2 congru à 1 modulo 9 donc (10^2)^5 congru à 1^5 congru à 1 modulo 9 donc 10^11 congru à 10 modulo 9 congru à 1 modulo 9 donc (10^11 - 1) congru à 0 modulo 9

même genre pour l´autre

bon, j´ai pas encore cherché le reste, bye!! (c´est là ou ca devient un peu plus dur surement)

bon, on peut rapprocher ça de la programmation, mais personne ne va te faire ton devoir.

Si tu as besoin d´aide, il faut que tu précise ce que tu ne sais pas faire, tu ne peut pas te contenter de recopier l´énoncé de ton devoir, car persoen ne va prendre le risque de te réponder alors que tu peut avoir déjà fait cette question.

De toutes manières, ça sera plus adapté sur "devoirs" ou surtout sur "science & technologie" (il n´y a pas de forum "mathématiques" ?)

merci de votre aide

y a encore la dernière question que j´arrive pas (partie c n°3)

ouais j´l´ai aussi posté sur cours et devoirs j´aurais du le preciser...

merci de ton aide pixcoder en fait

pour la c)3) je crois que ça a à voir avec le petit théorème de fermat : si n n´est pas premier il a un diviseur et 2^n-1 doit avoir le même, ou un truc dans le même gout (peut-être que n=0[m] pour un bon m alors 2^n-1=0[m] car 2 est premier ; ça doit ressembler à ça).

Pour la réciproque, tu trouve un contre exemple pour montrer qu´elle est fausse.

boarf, j´ai rien fait moi.

pour la C3 : déjà pour la première partie de cette question c´est facile : si tu supposes n non premier, tu 2^n - 1 divisible par 2^(un facteur de n)-1 d´après la question précédente, donc 2^n-1 non premier.

mais bon t´as surement trouvé ça.

La reciproque dans C3 est fausse. Il suffit d´exhiber un contre-exemple. Les nombres premiers de la forme 2^n-1 (avec n premier forcément) sont appelés les nombres de Mersenne. La recherche des plus grands nombres de Mersenne est un pan actif de la recherche en arithmétique avec des applications en cryptographie par exemple. Pour plus d´infos, cf. http://www.mersenne.org/

Le premier contre-exemple est 2^11-1 (cf. question C1).

on a d´ailleur trouvé récemment (il y juste 2 mois) un nouveau nombre de mersenne (le plus grand connu à ce jour) :

2^(30 402 457)-1 qui s’écrit avec 9 152 052 chiffres.

Attends, je vais checher ma calculette pour vérifier...

Many early writers felt that the numbers of the form 2^n-1 were prime for all primes n, but in 1536 Hudalricus Regius showed that 2^11-1 = 2047 was not prime (it is 23.89). By 1603 Pietro Cataldi had correctly verified that 2^17-1 and 2^19-1 were both prime, but then incorrectly stated 2^n-1 was also prime for 23, 29, 31 and 37. In 1640 Fermat showed Cataldi was wrong about 23 and 37; then Euler in 1738 showed Cataldi was also wrong about 29. Sometime later Euler showed Cataldi´s assertion about 31 was correct.
Enter French monk Marin Mersenne (1588-1648). Mersenne stated in the preface to his Cogitata Physica-Mathematica (1644) that the numbers 2^n-1 were prime for

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 and 257
and were composite for all other positive integers n < 257. Mersenne´s (incorrect) conjecture fared only slightly better than Regius´, but still got his name attached to these numbers.

http://primes.utm.edu/mersenne/

J´en profite pour dire que vous pouvez faire tourner vos PC en cluster sur le projet http://www.mersenne.org/ . Il y a une prime à partager ( http://www.mersenne.org/prize.htm ) pour le premier nombre de Mersenne à plus de 10 millions de chiffres. Avis aux amateurs.

quitte a faire du calcul parallee sur internet, ne perdez pas votre temps sur les nombre de mersenne.
il y a des projets de sequencage du genome a but medical bine plus important...