Bon alors... Je vais reprendre mon explication mais en accéléré.
Un home est initialement un breuvage fait chez soi (home = maison, brew=breuvage). On trouve dans des bars au Royaume-Uni des bières appelées homebrew qui sont distillées sur place, c´est également la garantie qu´on ne les retrouvera pas ailleurs qu´à cet endroit puisqu´elles sont faites avec une recette personnelle.
Depuis l´avénement du firmware 1.5 et la découverte d´une faille dans le code d´éxecution, les codeurs de tous poils possèdent désormais la possibilité de faire fonctionner leurs propres logiciels développés par leurs soins sur la PSP (d´où l´appelation de "homebrew" puisqu´ils le font chez eux).
En homebrew on trouve de tout: des jeux, des utilitaires (lecteurs multimédias, agenda, calculatrice scientifique, gestionnaire de fichiers, émulateurs de consoles, émulateurs de firmware, prise en charge de l´infrarouge pour transformer sa PSP en télécommande universelle, j´en passe et des meilleurs) et des démos technologiques montrant le savoir-faire de ces codeurs. L´avantage du homebrew ou programme fait maison est qu´il permet plein de choses que n´autorise normalement pas SONY ou ajoute des fonctions que la firme n´a jamais implémenté dans sa PSP (et n´implémentera probablement jamais).
En espérant avoir été suffisamment clair. D´ailleurs avec une petite recherche sur google tu aurais trouvé toi-même la réponse en quelques secondes je pense. 