Normalement, "la main à quelqu'un" aurait été une faute, mais "la main" est ici dans l'expression "serrer la main", faire une poignée de main quoi.
Quant à la forme "serrer la main de", elle renvoie moins à l'action de faire une poignée de main, mais plutôt à l'action de serrer, qu'on effectue sur une main dans cette phrase. La forme est donc assez rare.