Ah ben ouais parce qu'en plus tu peux pas trouver P et Q tels que PQ = 0 en fait, puisque P et Q sont tous deux inversibles, leur noyau est donc réduit à 0, et ça va être tendax de transformer ce 0 en tout l'espace juste en les composant.
Bon, on repart à zéro.

mdr je suis un MP là j'en ai mais plein le cul de la prépa pourtant on peut pas dire que l'année dernière j'ai fait Grand chose!
Puis j'ai eu ds de maths mardi, je n'ai strictement rien fait pendant 4heures j'ai répondu à 2 questions sur 30 je suis bon!!!

Nan mais faut sûrement se servir du fait qu'il y ait r+1 matrices. Genre si y'en avait que r ça marcherait pas.

"mdr je suis un MP là j'en ai mais plein le cul de la prépa pourtant on peut pas dire que l'année dernière j'ai fait Grand chose!
Puis j'ai eu ds de maths mardi, je n'ai strictement rien fait pendant 4heures j'ai répondu à 2 questions sur 30 je suis bon!!!"
Au moins tu me prendras pas de place aux concours.

Bon, j'vais tenter un cas particulier pour n=2, on va voir.

J'en ai rien tiré... Je tenterait bien le coup de Ak=(P.D.Q)^k , ce qui voudrait dire que P.D.Q est nilpotente d'indice (r+2)(r+1)/2, mais je crois que je vais plutôt aller me coucher.

"voudrais", au passage.

Bonne nuit !

Ok bonne nuit, je vais tenter de chercher encore un peu. ^^

arbuste en chef !
mdr tkt je suis pas si une bille que ça dit toi que même les 5/2 qui sont bons (dans notre cas) se sont cassés les dents sur ce DS
enfin bref j'espère au moins avoir E3A / CCP dans cette histoire ! parce que 5/2 Non merci !

Ok, donc je pensais peut-être à un récurrence.
Si t'as le truc pour r, après tu peux bidouiller tes r+1 matrices déjà existantes en ajoutant un 1 dans un coin qui servira à rien dans le produit matriciel, et finalement c'est les deux dernières que tu devras vraiment créer (je dis les deux dernières parce que l'ancienne dernière devient justement le produit de ces deux dernières).

Par exemple, pour r=1 puis pour r=2 :
http://s2.noelshack.com/uploads/images/18477980617140_maths.png
Bon c'est pas très parlant mais on voit que la matrice tout à droite pour r=2 est celle de droite pour r=1 à laquelle on a rajouté un 1 dans le coin supérieur gauche.
Et si on veut continuer (en dimension au moins 4), on rajoutera encore un 1 dans le coin supérieur gauche de la dernière et de l'avant-dernière matrice, et on se démerde pour créer celle de gauche à partir de deux nouvelles.

Je sais que ça pue la merde mais c'est tout ce que j'ai été capable de sortir, désolé. :s
Tu me diras si tu trouves.

Heu, on a rajouté un 1 en haut à droite en fait dans celle qui est tout à droite (mais bon, on aurait pu en haut à gauche).

Histoire de mieux capter, voilà ce que ça donnerait en dimension 4 pour r=3 :
http://s2.noelshack.com/uploads/images/17671836259638_maths2.png

Bon après bonne chance pour foutre tout ça par écrit, et pour trouver l'algorithme qui permet de construire les deux matrices de gauche. Je suppose qu'il y a beaucoup plus simple, mais comme je l'ai dit, à cette heure-ci c'est tout ce que j'ai pu sortir.
Sur ce, bonne nuit.

Ouais bon en fait on est nulach', suffisait juste d'utiliser le fait que les matrices triangulaires supérieures de rang n-1 sont nilpotentes de degré n :
http://s2.noelshack.com/uploads/images/15961315248846_maths.png

Il est temps d'aller se coucher, je crois.

"Il est temps d'aller se coucher, je crois."

Vous parlez de maths de prépa à 2h du mat, donc ouais

Okay, donc voilà les faits :

Là où ça me gênait, c'était que pour utiliser les matrices triangulaires supérieures ou inférieures strictes ici, il fallait donc supposer A1=A2=...=Ar+1, et donc dans le problème ça me semblait gêner un peu...

Juste après que tu sois parti, j'ai eu l'idée de poser A1=Jr (t'as raison, appelons les choses par leurs noms, D dans ce cas c'est moche ) , et pour k>1 : Ak = Jr + E(r+1,r+1) - E(k,k) , ce qui garantit que les matrices existent dans la dimension minimale envisageable de Mn(R) : r+1, et ces matrices sont toutes de rang r.
Là, on s'aperçoit que le produit de deux de ces matrices diagonales particulières est de rang r-1... Et donc en multipliant les r matrices, le rang 0, le produit donne la matrice nulle. Ça marche !

Ceci étant, j'ai quand même demandé à mon prof pour les matrices triangulaires supérieures et inférieures strictes de rang r et le problème de savoir si A1=...=Ar+1 était un cas envisageable, et en fait ça marche et c'est le cas le plus simple : en l'absence d'indications contraires on peut tout à fait supposer que les matrices soient égales. Donc bien joué à toi Arbuste, c'est à priori ce que les correcteurs attendaient lorsqu'ils avaient pondu le sujet.

Un "le rang 0" non voulu s'est glissé dans ce message, sauras-tu le retrouver ?

Et puis les matrices sont au nombre de r+1 et pas r, enfin t'as compris quoi.

A est une matrice de rang r strictement inférieure à n.

Montrer l'existence de r+1 matrices, notées A1, A2, ... , Ar+1, toutes équivalentes à A et telles que le produit A1.A2...Ar+1 soit nul."

Souvenirs souvenirs...

Il me semble avoir fait exactement le même sujet à l'époque...

Heureusement que c'est fini

ESIM MP Maths 1 2002 ?

Ouais, quand j'ai tenté mon pseudo algorithme pourri, tout ce que j'avais en tête c'est "on veut à chaque fois abaisser le rang de 1" mais j'avais vraiment pas d'idée précise de quelle matrice utiliser.
Donc bravo pour l'idée de Jr+1 - E(k,k), ça m'était pas venu. Je tacherai de m'en souvenir, ça peut être vraiment utile je pense.

Sinon je savais que Jérôme me donnerait raison.
Qu'il me manque...