Bonjour

Je bloque à une question de mon DM :
la partie A de l'exo 1 était assez simple, elle consistait à étudier la fonction g(x) = x + e^(2x) (limites, variations : strictement croissante sur R avec comme limite -inf et +inf); à trouver un encadrement de alpha tel que g(alpha) = o (on trouve -0,42 => alpha => -0,43), et à étudier le signe de la fonction (négative sur ]-inf;alpha] et positive sur [alpha;+inf[)
Il fallait ensuite trouver une expression de f(x).
f(x) = racine(x² + e^(2x))
ensuite montrer que f'(x) = g(x)/f(x)

Et voilà la question où je bloque :

a) Où doit-on situer le point M pour que la distance OM soit minimale ?
b) Donner un encadrement de cette distance minimale.

Via geogebra, j'ai remarqué que OM était minimale quand elle était perpendiculaire à la tangente à C au point m (http://www.noelshack.com/2014-49-1417460107-yoo.j
pg)

Je peux calculer l'équation de cette tangente ; http://www.sciweavers.org/tex2img.php?eq=y%20%3D%20%5Cfrac%7Bxm%20%2B%20xe%5E%7B2m%7D%20%20-%20me%5E%7B2m%7D%2Be%5E%7B2m%7D%7D%7B%20%5Csqrt%7Bm%5E%7B2%7D%20%2B%20e%5E%7B2m%7D%7D%20%7D%20&bc=White&fc=Black&im=jpg&fs=12&ff=arev&edit=0
Mais je suis pas sûr que ça m'aide pour trouver m...

J'ai aussi une autre question.
Dans un autre exercice, j'ai f(x) = e^x + 1/x définie sur ]0;+inf[
http://www.wolframalpha.ca.com/input/?i=e%5Ex+%2B+1%2Fx
f(x) admet pour minimum f(a), avec a€[0,703;0,704]
Je dois démontrer que ce minimum noté m est égal à 1/a² + 1/a

f(a) = e^a + 1/a
Et je sais pas trop quoi faire ensuite !

J'ai oublié de préciser que f(x) c'est précisement la longueur OM.

Faut se rappeler de tes cours de premières, une fonction admet un max / min quand sa dérivée vaut 0 et qu'elle change de signe. Ici f'(x)=0 <=> g(x)=0 <=> x=alpha
Tu encadres f(alpha) en te servant de ton encadrement.

Pour ta deuxième question, passe par une dérivation : f'(x)=e^x-(1/x²)
Tu sais que f admet un minimum en a, càd f'(a)=0, e^a-(1/a²)=0,
e^a=1/a²
Tu réinjectes dans ta fonction :
f(a)=1/a²+1/a

Merci beaucoup pour la deuxieme.

Pour la premiere je crois m'etre mal exprimé.
M c'est un point appartenant à C, la courbe représentant la fonction exponentielle.
la longueur OM dépend donc de M et on cherche on placer M sur C pour que OM soit le plus petit possible

Ah en effet j'ai carrément oublié un paragraphe dans mon explication c'est sûr que c'est pas clair du coup ^^'

Bah justement, tu me dis que f(x) c'est la distance OM en fonction de x, cette distance est minimale quand sa dérivée s'annule, après j'ai pas vérifié tes calculs pour savoir si c'est vraiment ça OM je te fais confiance. Or la dérivée de f s'annule quand g s'annule.

Ah ok je viens de comprendre - merci encore

Euh j'ai un doute en fait : si la longueur OM est minimale c'est que f(x) admet un minimum ? Je comprends pas le lien
En fait j'ai du mal à me représenter la fonction et donc encore moins à imaginer le minimum de celle-ci...

Bon alors reprenons, la distance OM c'est la distance entre 0 et un point M de la courbe C. Avec Pythagore, tu trouves la fonction f qui à une abcsisse x associe la longueur OM. Celà signifie qu'à un x donné, tu peux associé un point M de la courbe C (dont les coordonnées seront bien évidemment M(x;e^x)). f te donne la distance entre ce point M et O. Tu veux en quel point M de la courbe C la distance jusqu'à 0 est minimum, c'est à dire pour quelle valeur de x cette distance est minimum, c'est à dire quand est-ce que f(x) est minimum. f te donne la longueur du segment OM en fonction de l'abcsisse choisit pour le point M.
J'espère avoir été clair.

Ok j'ai compris, merci !