Bonsoir, est ce que pour tout polygone régulier, il existe une norme de sorte que ce polygone soit la boule de centre 0 et d'un certain rayon de cette norme?

Oui, c'est même vrai pour tout ensemble convexe, contenant un ouvert autour de 0, symétrique par rapport à 0 (et ptet une autre condition que j'oublie, mais je crois pas). Les polygones vérifient clairement ces propriétés, donc sont les boules/sphères unité de ces normes.

Tu peux d'ailleurs construire explicitement ces normes, ce sont les jauges associées aux convexes en question : pour C un convexe et x dans R^n, on pose j_C(x) = inf{t > 0, x/t € C}. Alors, si C vérifie les propriétés plus haut, j_C est une norme et C en est la boule unité (ouverte, fermée, dépend comment est foutu C à la base mais c'est pas important).

Ah oui, pour le premier paragraphe, il faut aussi que l'ensemble soit borné.

Mais est-ce vrai sur une sphère ?

De quoi qui est vrai sur une sphère ?

+ Re Eucli, tu dates. /

Merci Hachino

Re,

Bah la propriété demandée.

Ptet bien, faudrait voir.

Je pense que c'est faux pour une sphère
Sinon la sphère serait convexe

J'crois qu'il parlait de généraliser ce que tu voulais dire au cas d'une sphère (ou d'une variété riemannienne si on veut vraiment généraliser), munie de sa métrique usuelle. Faudrait ptet préciser la notion de polygone dans ce cas, même si dans le cas d'une sphère on devrait pouvoir le faire à la main.

Ah d'accord, tout polygone est-il une sphère pour une norme? La je vois pas du tout

Ben si, ça c'était ta question (et la réponse est oui). Lui, il demande : "si on a un équivalent de la notion de polygone régulier sur une sphère [imagine un pentagone dessiné sur un ballon], est-il vrai que ce polygone est la boule unité d'une métrique riemannienne sur la sphère ?".

'Fin si j'ai bien compris.

Tiens j'ai une idée,

L'espace-temps en relativité est même pas riemannien, donc on peut encore plus généraliser aux variétés pseudo-riemanniennes, et du coup ça pose la même question initiale mais dans tout espace-temps.