Bonsoir à tous, j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant de mon DM, j'ai l'impression de faire n'importe quoi :

Aucun problème pour les deux premières parties, c'est pour la 3ème que ça se complique.

La 1.a) c'est ok, la 1.b) j'ai xn équivalent à n, ça me parait bon.
La 2) je trouve 1 comme limite, ça me parait juste aussi.
La 3) j'ai Un=ln(xn)/ln(n), comme xn est équivalent à n ça tend vers 1 d'après moi, mais il me semble que j'ai pas le droit de composer par ln dans une équivalence, en plus ça reviendrait à utiliser le fait que ln(xn) est équivalent à ln(n), ce qu'on me demande juste après donc je tourne en rond. J'ai donc trouvé ln(xn) équivalent à ln(n).

La 3.b) je sèche

Merci à ceux qui prendront le temps de m'aider !

Vu l'heure qu'il est je suis pas trop sûr de moi mais si tu met n en facteur dans le ln au numérateur, tu te retrouve avec Un=(ln(n)+ln(xn/n))/ln(n)=1+ln(xn/n)/ln(n)
Or, la limite de xn/n c'est 1 donc par composition celle de ln(xn/n) sera 0, d'où le résultat final : lim(Un)=1

et au passage, tu peux composer par ln une équivalence entre deux suites du moment que les deux suites sont strictement positive au voisinage de l'infini et qu'elles ne converge pas vers 1

Ici ça marchait bien mais puisque ça semble pas être à ton programme

Notre prof nous avait évoqué le fait qu'il y ait des conditions pour composer par ln sans les donner explicitement

Sinon ça a l'air de marcher ce que tu me dis, c'est bien vu de mettre n en facteur pour faire apparaitre une limite connue, merci !

Quand à la 3.b), j'arrive à n(1-Un)=n(ln(n/xn))/ln(n), mais je ne vois pas comment montrer que ça tend vers 1, j'essayerais de voir ça demain matin.

Up pour la 3.b)

Désolé là par contre j'avoue que j'y arrive pas non plus

D'accord, bah déjà merci pour ton aide si quelqu'un a une idée pour la 3.b) hésitez pas, je vais essayer de trouver seul sinon.

(HS: petite dédicace à quelqu'un qui se reconnaitra)

Ok Ok j'ai trouvé ça :

Xn=n-ln(n)Un donc ln(Xn)=ln(n-ln(n)Un)=ln(n)+ln(1-ln(n)Un/n)
D'où: ln(Xn)-ln(n)=ln(1-ln(Un)/n)

Le piège ici c'est (en plus de penser à composer par ln...) de ne pas utiliser lna-lnb=ln(a/b), ce que j'ai tendance à faire automatiquement par habitude : à la place, on utilise l'équation de départ ln(Xn)+Xn=n

On a : Xn-n-ln(n)=ln(1-ln(n)Un/n)
Soit: -ln(n)(1-Un)=ln(1-ln(n)Un/n)

A partir de là, l'équivalent est simple à trouver

Ah ouais et en me servant du fait que ln(vn) equivalent à vn-1 quand vn tend vers 1 j'arrive au résultat. Pas mal le coup de génie à 4h20, j'aurais jamais trouvé je pense, merci