Bonsoir à tous voila j'ai un exemple dans le cours sur ce sujet :

soit p(x) = ( x²-1)^3 * (x-1)² * ( x² -4x +3 )²

1 est racine de p d'ordre 7

-1 est racine de p d'ordre 3

3 est racine de p d'ordre 2

Je sais que les racines sont des solutions de p(x)=0 mais je n'arrive pas à déterminer les ordres , le théorème du cours est peu précis et fou
C'est sur les polynômes ma leçon , ça commence un peu à se corser

s'il vous plaît qui peut m'expliquer clairement et de manière précise ( j'ai déjà fais un topic l'autre fois ) car je n'arrive pas comprendre je vais finir par croire que je suis un idiot
Pourtant le cours sur les polynômes ne me pose pas de soucis , le reste j'y arrive sans grande difficulté
première fois que je bloque aussi sèchement sur un passage.

je suis en première éco-gestion et je ne sais pas factoriser ça aussi c'est un problème

allez s'il vous plaît plus que cela et j'ai fini le cours sur les polynômes je viens de réussir l'algorithme d'Hormer

Ben en fait, pour connaître l'ordre d'une racine, tu factorises un polynome par cette dernière.
Admettons que P soit un polynome de degré "n", et que "a" soit une de ses racines.
On a P(x)=(a_1)x^n+(a_2)x^(n-1)+...+(a_n)*x+[constante_
1]

"a_1" "a_2" "a_n" (lire "a indice 1", "a indice2") désignent des nombres, n'importe lesquels.
Y a juste a_1 qui doit être non nul : si a_1=0, P est alors un polynome de degré (n-1).
Bon, tout ça c'est juste de la notation, je te l'accorde c'est moche à lire mais c'est dur d'écrire joliment sur ce forum

Bref, puisque a est une racine, on peut factoriser P par (a-x).

Donc P(x)=(a-x)*[(b_1)x^(n-1)+(b_2)x^(n-2)+...+(b_n-1)*
x+constante2]

de la même manière, b_1 b_2 sont des nombres, et b_1 doit être différent de 0. (même raison que tout à l'heure : si b_1=0 alors P serait un polynome de degré n-1).
Tu peux noter que tout ce qui est entre crochet est un polynome de degré n-1. J'appelle ce polynome Q.
Donc P(x)=(x-a)*Q(x)

Bien, maintenant : y a deux possibilités.
- Soit "a" est une racine simple de P. Auquel cas, Q est un polynôme qui n'admet pas "a" pour racine. (Autrement dit, Q(a) ne vaut pas 0).
"a" est une racine simple de P, donc P(x)=(x-a)*Q(x), avec Q un polynome dont "a" n'est pas racine.

- Soit "a" est une racine multiple de P. Auquel cas Q(a)=0, et donc je peux factoriser Q par (x-a).
Par le même raisonnement que tout à l'heure, on va se retrouver avec P(x)=(x-a)*(x-a)*R(x).
Et R(x) sera un polynome de degré (n-2), tel que Q(x)=(x-a)R(x).
On aura donc P(x)=(x-a)²*R(x).
"a" est alors racine multiple de P : on peut factoriser P par (x-a)².

On se retrouve dans un cas similaire à tout à l'heure :
On sait que "a" est au moins une racine double de P, puisqu'on peut factoriser P par (x-a)². Mais on ne sait pas si a est racine triple, ou racine de degré n de P. Pour le savoir, on regarde si on peut factoriser R par (x-a).

Pour résumer :
Un polynome P de degré "d" a pour racine d'ordre "n" (n=<d) le nombre "a" si on peut écrire P(x)=(x-a)^n * Q(x) où Q(x) est un polynome qui n'admet pas "a" pour racine

ok merci

par contre je n'ai pas compris d'oû sort le q(x)

Ici j'ai ( x²-1)^3 * (x-1)² * ( x² -4x +3 )² ok , je peux déteminer ses racines pas de soucis là dessus par contre je ne vois pas d'où il sort le q(x)

le reste c'est ok

Bon ben par exemple 1 est racine de ton polynome.

Donc je factorise ton polynome par (x-1) :

P(x)=( x²-1)^3 * (x-1)² * ( x² -4x +3 )²

=[(x-1)(x+1)]^3 * (x-1)² * [(x-1)(x-3)]²
=(x-1)^(3+2+2) * [(x+1)^3 * (x-3)²]
=(x-1)^7 * [(x+1)^3 * (x-3)²]
=(x-1)^7 * Q(x)

Avec Q(x)=[(x+1)^3 * (x-3)²]. Q est un polynome de degré [deg(P)-7], et n'admet pas 1 pour racine