Salut, j'ai un petit exercice de spé à faire mais je bloque complètement à la première question...
Voici l'intitulé :
Soit p=>2 et x deux entiers relatifs.
1.Montrer qu'il existe un unique entier r tel que 0 <= r < p et x congru à r (mod p)
2. Trouver les entiers relatifs vérifiant (plusieurs expressions que je vais pas détailler ici)

J'ai posé x = pq + r
et r = pq' + r

(déjà là je me demande si c'est bon, c'est pas x = pq + r' plutôt ? Et dans ce cas je suis encore plus bloqué...)

Et là je ne vois pas quoi faire... si j'isole p ça me fait p = (x-r)/q et p = (r-r)/q = o sauf que p=>2 donc ce n'est pas logique...

Help

J'ai corrigé j'ai x = pq +r et r = pq' + r'

J'ai besoin de la méthode pour trouver le résultat svp je sèche

x = r (p) <=> x - r = np <=> r = x - np
x = r' (p) <=> x - r' = n'p <=> r' = x - n'p

r - r' = n'p - np = p(n' - n)

Or 0 ≤ r < p et 0 ≤ r' < p <=> -p < -r' ≤ 0

Par somme, -p < r-r' < p <=> -p < p(n' - n) < p.

p(n' - n) € Z. Or le seul multiple de p strictement compris entre -p et p est 0. Donc r = r'.

Merci mais p n'est pas égal à 2, il est supérieur ou égal à 2
A moins que j'ai mal compris ce que tu as fait ?

la Q.1 est la démonstration de l'existence et unicité du couple (q,r) (que r dans ton exo) dans la division euclidienne.
L'unicité se fait comme diabolofrez l'a écrit. tu supposes deux restes, et tu montres que leur différence est nulle.
Pour l'existence, j'ai pas la démonstration en tête, mais je crois qu'avec des considérations d'ensemble avec plus petit élement permet d'aboutir.. tu l'as fait en cours non ?

Oui j'y suis arrivé finalement, merci.

Pour la question 2, je dois trouver les x€Z vérifiant 5x congru à 1 (mod 7)

Sauf que aucune intervalle n'est précisé, il y a donc un nombre de x infini ? Je dois donc trouver une expression littérale ?

Voilà ce que j'ai fait :

5x = 7q + r
1 = 7q' + r donc q' =o et r=1
donc 5x = 7q +1
donc q = (5x-1)/7
5x-1 doit être égal à un multiple de 7.
On a x = (7q+1)/5

Je pense que c'est bon ?
Sauf que je dois ensuite trouver les x€Z tels que 2x² + x - 1 est congru à 2 (mod 5)

De même, 2x² + x + 1 = 5q+r
2 = 5q' + r donc q' = o et r = 2
donc 2x² + x + 2 = 5q + 2

donc q =(2x^2 + x - 1)/5

Et la pour isoler x ça me semble difficile. je ne crois pas pouvoir résoudre 2x² + x - 1 = 5q... help !