Hello,

dans mon cours, on a un " exo " qui est :

Calculer la limite de la suite de distributions T_n associées aux fonctions cos(nx) puis sin(nx) quand n->+inf

Apparemment je dois trouver 0.

Comment le démontrer ? Pour moi, cos(nx) n'admet pas de limite quand n->+inf donc parler de la limite de <T_n, phi(x)> = intégrale cos(nx)phi(x)dx me paraît bizarre et je vois pas comment je pourrais trouver 0...

Vous pourriez m'aider ?

Merci

Il y a bien des façons d'admettre une limite. Il n'y en a effectivement pas ponctuellement (pour la plupart des réels x, (cos(nx)) ne converge pas quand n tend vers +inf), mais "en moyenne", si et ce qu'on te demande de montrer.

Indice : c'est un résultat que tu connais normalement déjà, énoncé sans le contexte des distributions. Que vaut explicitement <T_n,phi>, en remplaçant T_n par le cos et le sin ?

Bah j'ai :

< T_n, phi > = intégrale sur IR de : cos(nx)phi(x)dx

Après si je veux montrer que < T_n, phi > tend vers un certain < T, phi > avec T=0, c'est montrer que la suite de nombres réels " intégrale sur IR de : cos(nx)phi(x)dx " tend vers 0.

Et ça je vois pas comment.

La tête de ton intégrale là, elle te rappelle vraiment rien, t'es sûr ?

Sans le phi ça me ferait penser à du Wallis. ^^ Mais il y a phi.

(désolé mais j'viens d'arriver en école d'ingé et la rigueur par rapport à la prépa c'est pas trop ça alors je rame un peu)

Ouh la non désolé c'est pas du Wallis du tout mdr !
Bah alors je vois pas

Euh nan, Wallis c'est avec cos^n(x), pas cos(nx).

T'as déjà fait un peu de Fourier ?

Bah le truc c'est qu'on voit le cours sur les distributions avant Fourier. Peut-être que je comprendrai cet exemple quand je vais m'intéresser à Fourier (d'ici quelques jours !) mais pour l'instant du coup je le comprends pas :p

T'as vraiment jamais vu de séries de Fourier ?

Bon bah ton intégrale, c'est le n-ième coeff de Fourier et le lemme de Riemann-Lebesgue dit que ce coeff tend vers 0 à l'infini pour toute fonction "raisonnable", c'qui est exactement ton exo.

Ahhh attends je confonds transformée et série.

Si, série j'ai déjà vu l'année dernière.
Et en effet je me souviens du lemme de Riemann Lebesgue.
Merci beaucoup, je n'y aurais plus spontanément pensé !

Sinon, phi tu peux faire une intégration par partie puis majorer phi' par son sup et t'as direct le résultat

En effet je peux faire ça aussi, c'est plus long mais plus pratique quand on se souvient pas de ses théorèmes.