coucou,

je dis souvent que la géométrie pure met à coup sur à genoux les bon lycéens/étudiants (bah ouais dès qu'il n'y a plus d'analytique on panique !, merci l'éducation nationale de vouloir tout faciliter les choses)

jugez en plutôt :
un ensemble E de l'espace est appelée complètement symétrique si il comporte au moins 3 points et satisfait cette condition : pour tout ensemble de 2 points distincts A et B de E, la médiatrice de [AB] est un axe de symétrie par rapport à E.

déterminer la nature des figures géométriques formés par les points de cet ensemble au cas où ce tel ensemble est fini

Tu parles de tous les points à la fois ?
Si c'est le cas, alors les n points de E forment un n-gône régulier

Ah merde on est en dimension 3
je vais reprendre ça un peu

ta réponse est valable si tout tes points sont coplanaires, encore faut il que tu me montres comment t'en es arrivé là

Tu veux dire quoi par médiatrice dans l'espace ? C'est pas plutôt plan médiateur, ou même espace médiateur pour R^n, n supérieur à 3 ?

exact, médiatrice est plus court à écrire mais apparamment ca induit en erreur...

Soit H l'ensemble considéré, et n son cardinal.
Dans R², j'ai pris deux points A et B, construit leur médiatrice M(A,B). On prend alors un troisième point C de H, qui existe car n = |H| >= 3.
On construit alors son symétrique par M(A,B): ce point est alors dans H par propriété de stabilité par passage au symétrique par rapport à une médiatrice: deux cas se distinguent:
- si n = 3 alors C est le dernier point de H, et nécessairement le symétrique de C par M(A,B) est confondu avec C. C est alors sur la médiatrice de A et B, donc équidistant de A et B. ABC est alors isocèle. On construit alors la médiatrice de [AC]: B est nécessairement sur cette médiatrice sinon on a contradiction avec le fait que n = 3. ABC est donc équilatéral.
- si n > 3, on construit le symétrique D du point C par M[AB], ensuite les médiatrices des points A,B,C,D deux à deux, et on continue à construire des points et des médiatrices jusqu'à en avoir n: on peut alors montrer pour le n-ième point qu'il est son propre symétrique par rapport à une des médiatrices (n impair), ou qu'il est le symétrique d'un point construit antérieurement par une médiatrice (n pair), ce qui donnera la régularité du n-gône dans les deux cas.

donc en fait je peux généraliser à un espace de dimension quelconque, et démontrer ça rigoureusement par récurrence...

et c'est beaucoup plus difficile que tu ne le penses

Que ça soit ardu, j'en doute pas
Merci pour cet exercice fort intéressant
Je vais essayer de voir ça en dimension 3 d'abord, et voir comment généraliser ensuite

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