Salut.

Soit l'exercice suivant :

"1. Quel est le reste de la division euclidienne de 1000 par 13 ?
2. Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de 10^3n par 13 pour tout valeur de n.
3. Démontrer que pour tout entier naturel n, l'entier 10^(3n+3) + 10^3n est divisible par 13."

Mes réponses :

1. 1000 = 13*76+12 donc 1000 congru 12 [13]
2. Ici, j'ai teste avec différentes valeurs de n € N, le problème c'est que ce que j'ai fait est sûrement faux pour n € Z.

10^3 congru 12 [13] donc 10^3n congru 12^n [13]
- Si n = 2k
(10^3)^2 congru 12^2 [13]
10^6 congru 144 [13]
10^6 congru 1[13]
donc (10^3)^(2k) congru 1^k [13] congru 1[13]

donc premier reste : 1

- Si n = 2k+1
(10^3)^(2k+1) congru 12^(2k+1)[13] donc
(10^3)^(2k+1) congru 12^2k * 12 [13] donc congru 1*12[13]

Deuxième reste : 12

Après je bloque pour la question, que faire ?

c'est 10^3(n+1) + 10^(3n) càd (10^3)^(n+1)+(10^3)^n, et si 2 entiers sont consécutifs, y'en a un de pair et un d'impair! Tu devrais t'en sortir avec ça!

Enfait c'est juste que c'est 2 entiers consécutifs et que 13 = 2*6+1 donc c'est divisible par 13 ?

non tu te sers de ce qui précède, t'as montré (10^3)^n = 12[13] pour n impair et (10^3)^n=1[13] pour n pair, donc si tu sommes, ça fait 12+1=0[13]