Salut,

j'ai trop du mal en analyse complexe, il y a des connaisseurs ici?

Par exemple le problème tout con suivant :

"trouver les fonctions f de classe C1 et bornées sur C telles que deltabar(f)=1"

(deltabar(f) = 1/2 (d/dx + i d/dy) f, en gros c'est l'opérateur tel que f est holomorphe ssi deltabar(f) = 0)

comment aborder le problème?

Mmh je me demande si tu peux pas trouver des extremum locaux pour cette fonction

• extrema, ça m'a fait mal aux yeux

J'avais pensé poser f(z)=a(x,y)+i.b(x,y) et traduire l'hypothèse sur les dérivées partielles de a et b mais j'arrive à rien

Up,

je suis toujours bloqué avec mon raisonnement.

Donc j'ai 1/2 (d/dx + i d/dy) f = 1/2 [ax'(x,y)+ibx'(x,y) + i(ay'(x,y)+iby'(x,y))]

(avec ax' et bx' les dérivées par rapport à x et ay' et by' les dérivées par rapport à y)

donc on doit avoir ax'(x,y)-by'(x,y)= 2 et bx'(x,y)+ay'(x,y) = 0

comment résoudre ce système d'équation aux dérivées partielles?

Ajout : Je sais qu'il existe des solutions car zbarre vérifie la condition

1/2 (d/dx + i d/dy) f = 1

Donc en passant au conjugué :

(d/dx - id/dy) f* = (d/dx + i d/dy) f

d/dx (f* - f) = id/dy (f-f*)

Or f* - f est une fonction imaginaire pure donc d/dx (f*-f) et d/dy(f*-f) aussi et comme id/dy (f-f*) est réel et d/dx (f* - f) est imaginaire, on a donc en fait que d/dy (f-f*) = d/dx (f* - f) = 0

Donc que f*-f = cste

Jai1probleme

et donc ça donne quoi l'ensemble des solutions?

d'ailleurs ça me parait faux parce que z* est solution or z*-z est pas une fonction constante

oups je me suis un peu fourvoyé :
je devais arriver à ça

d/dx (f* - f) = id/dy (f+f*)

z* n'est pas solution de ton problème, elle est pas bornée.

Cela dit, si f est une solution, la fonction h : z -> f(z)-z* est entière (car son delta barre est égal à 0).

Elle est majorée en module par |f(z)|+|z*| donc par sup(|f(z)|) + |z| si f est bornée.

D'après le théorème de Liouville ceci implique que h est affine, de la forme a+bz.

Je te laisse conclure.

Je comprends tout sauf pourquoi le théorème de Liouville permet de dire que h est une fonction affine.

Et sinon pour la conclusion, c'est donc que l'ensemble des fonctions qui conviennent sont les a+bz+z* c'est ça?

On applique le théorème de Liouville à la fonction z-> [h(z)-h(0)]/z

Elle est entière (en la prolongeant en 0 avec h'(0)) et bornée donc constante par Liouville, donc h est affine.

Et l'ensemble des solutions qui CONVIENDRAIENT est a+bz+z* mais aucune de ces fonctions n'est bornée donc il n'existe aucune solution vérifiant les conditions posées.

J'adore trouver une question d'analyse complexe entre deux topics sur des calculs vectoriels et de dérivée première de lycée