salut à tous, j'ai un problème pour une question que je me suis posé seul :

je sais que Q est dénombrable donc on peut numéroter ses éléments. Donc je me dis qu'on peut définir une sorte de récurrence sur Q : On montre qu'une propriété est vrai pour le premier rationnel (d'après notre numérotation) puis que si c'est vrai pour un c'est vrai pour le suivant.

Mais de quelle façon on peut définir le suivant d'un rationnel? Il me faudrait une bijection de N dans Q mais je n'en trouve pas, on a des bijections de Q dans N assez compliquées et leur réciproque est pas facilement exprimable.

Il y a des bijections simples?
Et est-ce que c'est possible d'avoir une bijection croissante?

Pour finir si vous avez des exemples d'exercices qui pourraient se résoudre avec cette récurrence.

Merci d'avance.

Une bijection croissante bien sûr que non car (f(0)+f(1))/2 est rationnel

Oui c'est vrai et forcément son antécédent est supérieur à 1 donc pas de croissance. Merci

Et pour mes autres questions?

Up?

Up Up

j'ai pensé qu'à défaut de pouvoir trouver une bijection explicite on peut peut être exploiter une surjection mais j'en trouve pas de simples non plus

On note nu la valuation 2-adique.
A n tu associes nu(n)/(n/2^(nu(n))+1) et je crois que t'as ta surjection.
Mais ça rentre peut-être dans la case "trop compliqué"

Jamais vu de récurrence sur les rationnels sinon.

oui du coup c'est un peu difficile à exploiter.

Il n'existe pas de fonctions f et g simples telle que n -> (f(n) ; g(n)) soit une surjection de N dans N²?

Car alors il suffirait de prendre h(n) = f(n)/g(n) comme surjection de N dans Q+

M'étonnerait beaucoup, parce que si tu as une fonction exprimable simplement, elle a de fortes chances d'avoir une extension tout aussi simple à R, c'qui te donnerait "presque" une surjection de N sur R, c'qui est impossible.

C'est fait avec les mains, mais ton idée est sans espoir, faudra en passer par des surjections plus tordues, arithmétique ( (p,q) <-> 2^p*(2q+1) par exemple) ou graphique (une ligne qui serpente en recouvrant N²).

Q est dénombrable mais le problème c'est Q est aussi dense dans R pour n'importe quel nombre couple (p,q) rationnel, donc en particulier réel, tu vas trouver un autre rationnel appartenant à l'intervalle ouvert, donc ça me semble bien impossible de définir un rationnel " suivant " .

Après si tu parles du suivant au sens, le suivant selon la façon dont on dénombre Q c'est tordu vu que celle ci est complétement arbitraire

C'est quand même étrange qu'on ait pas de surjection "simple". Est-ce qu'il y a une raison profonde à cela?

Je sais par exemple qu'on peut montrer par la théorie de Galois que telle fonction n'admet pas de primitives s'exprimant à l'aide des fonctions simples. Est-ce qu'on pourrait montrer de même qu'il n'existe aucune surjection de N dans Q qui s'écrive comme somme finie de fonctions simples?

Sinon oui l'idée de tout cela paraît un peu tordue mais ça me paraissait intéressant d'exploiter la dénombrabilité de Q pour prouver que des propriétés sont vraies sur Q tout entier, j'ai pas l'impression qu'on le fasse souvent.