Salut, je dois montrer la propriété suivante

Montrer que la limite d'une suite de fonctions mesurables est mesurable.

Alors sur internet je vois pas mal de démo mais qui se font via les espaces métriques, avec la distance, mais c'est pas au programme pour moi cette année. donc je me demande si je peux pas le montrer comme ça

je me sers du fait que dans ce cas là, lim inf et lim sup sont donc mesurables (on l'a montré je peux le refaire) et que du coup les fn convergent uniquement dans l'ensemble ou lim inf = lim sup i.e dans l'ensemble où {x, lim sup fn(x) - lim inf fn(x) = 0}
l'image reciproque de cet ensemble = {0} qui appartient à la tribu. et cqfd.

Là t'es en train de montrer que l'ensemble des points de convergence est mesurable.

Ce que tu dois montrer c'est encore plus simple. Si f_n admet une limite f, alors f = lim sup f_n, et comme t'as le résultat sur la lim sup...

Ok, c'était tout con; merci.

heureusement que t'es la toi

Je dois aussi montrer qu'une mesure verifie la sous additivite i.e si u est une mesure alors

u(union de An) =< somme des u(an)
Pour an une famille d'ensemble d'une tribu et n€N

Dans le cas ou ils sont disjoints on a egalite
et si ce n'est ps le cas je songeais a appliquer direct l'egalite quindit que union = somme -intersection auquel cas j'aurai bien ma majoration, mais je crois que ca decoule de la sigma-additivite auquel cas je peux ps trop m'en servir ....

C'est bon celle ci j'ai trouvé en fait

Par contre grosse galere pour montrer que sur R la mesure de lebesgue d'un intervalle est egale a la longueur de l'intervalle... Sachant que la mesure de [0,1] =1 et avec l'invariance par translation on montre que la mesure d'un singleton est nulle, en combinant ca on obtient que la mesure de ]0,1[ ou ]0,1] vaut aussi 1 mais est ce suffisant pour deduire que chaque intervalle a pour mesure la longueur de ce meme intervalle ? :/

A part m([0,1])=1 et l'invariance par translation tu dois avoir une autre hypothèse, parce que ça te définit pas une unique mesure là

Bah c'est comme ca qu'on nous definit la mesure de lebesgue en plus des axiomes usuels sur la mesure et sigma additivite et de mesure du vide =0

Ah oui la sigma-additivité c'est vrai
Bah tu prouves facilement par récurrence qu'un intervalle de largeur 2^k a une mesure de 2^k (pour k dans Z), et du coup pour un intervalle de longueur L tu prends la décomposition dyadique de L et tu écris ton intervalle comme une union au plus dénombrable d'intervalles de longueur 2^k.

Ok mec j'ai jamais entendu parler de decomposition dyadique

Bah c'est comme la décomposition décimale sauf que là c'est des 2^k à la place des 10^k

Ok peut etre que j'en ai entendu parler pour le lemme d'approximation alors.

Enfin je vais voir ce que je peux faire mec ouais

Ou sinon tu peux encadrer ton intervalle (au sens de l'inclusion) à gauche par E(L/2^k) intervalles disjoints de longueur 2^k et à droite par E(L/2^k)+1 intervalles disjoints de longueur 2^k, puis passer à la mesure et appliquer les gendarmes

j'ai une demo qui utilise un encadrement de ce genre mais c'est avec jne suite de fonctions mesurables ...ici je dois le faire avec une mesure donc je vois pas trop. A la fin je dois encadrer m(I) et deduire du th des gendarmes que ce qui l'encadre n'est autre que la longueur de l'intervalle ?

La première idée de Morphisme me paraît plus simple.
Tu veux montrer que m([0,L]) = L.
Par exemple , si L = 13, tu écris L = 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0
Et [0,L] = [0,2^3[ U [2^3, 2^3 + 2^2[ U [2^3 + 2^2, 2^3 + 2^2 + ^0]

Ces intervalles étant disjoints, et comme tu auras montré qu'un intervalle de longueur 2^k a pour mesure 2^k, tu en déduis que
m([0,L]) = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 13.

Ça se généralise facilement, puisque tu peux toujours écrire L sous la forme d'une somme sur Z des a_k*2^k où chaque a_k appartient à {0,1}. La sigma-additivité te permet de conclure.