Bonjour pourriez vous m'aider pour l'exercice 1 de ce dm

je l'ais fais entièrement mais je ne suis pas sûr de mes démarches si vous pouviez corriger ce qui ne va pas je vous en remercierais
1) Un₊₁= √Un²+1
2)Qn: Un⁺¹>Un
Initialisation
U₁>0
U₁²+1> U₁²
√U₁²+1 > U₁
U₂> U₁
Hérédité
Supposons p tel que Qp: Up₊₁>Up vraie
Up₊₁ >Up
Up₊₁²+1 > Up²+1
√(Up₊₁²+1) >√(Up²+1)
Up₊₂> Up₊₁
donc Qp vraie entraîne Qp₊₁ vraie
Conclusion
Qn vraie ∀n∈ℕ*

3)Vn₊₁= Un₊₁²
Vn₊₁= √(Un²+1)²
Vn₊₁= Un²+1
Vn₊₁= Vn +1
donc Vn est une suite arithmétique de premier terme V₁ ou U₁² et de raison 1
lim Vn= +∞ car Vn est une suite arithmétique de raison 1>0
Un²= Vn donc lim Un²= +∞ de plus Un est croissante donc
lim Un= +∞

4) U₁= (1+k)
U₂= √((1+k)²+1)
U₃= √[√((1+k)²+1)²+1
U₃=√((1+k)²+2)

Un= √((1+k)²+n-1)

5) Si u₁= 1 alors
Un= √(1+n-1)
Un=√n

Un²= Vn donc lim Un²= +∞ de plus Un est croissante donc ... c'est pas que c'est faux (j'ai pas de contre exemple en tête), c'est que ça fait bizarre...

je ferais plutôt un truc du style lim un²=(lim un)² (car lim (ab)= lim a*lim b)

donc lim un= +/- ∞, comme un>0, lim un= +∞

la 4 semble fausse... il faut raisonner sur vn qui est arithmétique (donc tu connais l'expressionen fonction de n)

Effectivement c'est pas le bon argument pour la question 3.

v_n tend vers +oo, la fonction racine carrée tend vers +oo en +oo, donc par composition des limites, u_n = sqrt(v_n) tend vers +oo.

Merci de votre aide donc déjà pour la 3) j'ai pensé à rédiger ainsi
puisque lim Vn=+∞ alors lim √Vn=+∞
√Vn₊₁= √Un²+1= Un
donc lim √Vn= √Un=+∞
ça ira?
ensuite pour la 4) je suis pas sûr de tout avoir compris
l'expression de Vn en fonction de n c'est Vn car V₁= n+1 donc Vn= n+n?

Y'a des racines qui trainent, et on a pas l'impression que t'as compris ce que tu fais, essaie de rédiger proprement, comme l'a dit prauron, en utilisant la composition des limites

la 4/ tu as V1=U1^2 pas n+1...
après la raison qui vaut 1 donne Vn = U1^2+(n-1)
et comme Vn=Un², tu peux récupérer Un

J'ai compris pour la 4) merci
par contre pour la 3) j'y réfléchis depuis tout à l'heure et je plante je crois
je met
√Vn= Un et donc par composition des limites lim Un= +∞
j'ai pas vraiment compris comment je fais une composition de limites en fait

une suite U , f une fonction continue
si Un->L, L un réel, alors f(Un)->f(L)
si Un->∞ alors f(Un)-> lim(f(x)) quand x-> ∞

Du coup, ici, Vn->+∞ et racine continue sur [0,+∞[ donc racine(Vn)->+∞ et comme racine(Vn)=Un (car Un positif) c'est gagné

Merci beaucoup pour votre aide

Excusez moi pour l'ex 2 j'ai un problème qui me tracasse pour rédiger correctement
à la question 2) lorsque les limites tendent vers 3 et que le dénominateur est nul. Je peux utiliser un tableau de variation? Que puis je utiliser d'autre? Je suis pas trop sûr de moi