Yo!

J'ai un gros bug sur un exo, sur lequel j'ai passé tellement d'heures à chercher sans trouver que j'aurais pu terminer une partie de monopoly à la place.

Voici une certaine suite: http://puu.sh/ct2iJ/bcb8e914f7.png
Définie pour tout n entier naturel, et pour a réel strictement positif.

1) Montrer que la suite (U_n) est bien définie, que U_n>=a pour tout n >=1 et puis que (U_n)_{n>=1} est décroissante.

Ca, très facile.

Mais:

2) Quelle est la nature de la suite (U_n) ? Énoncer le résultat utilisé.

Wtf?
J'ai tout essayé. J'ai essayé U_{n+1} / U_n
J'ai essayé de calculer U_{n+2}
J'ai essayé de faire un truc avec U_{n+1} = f(U_n) ou f(x) = (x^2+a^2)/2x
Et pleins d'autres machins, mais aucun moyen...

Une âme charitable ?

Suite décroissante, minorée...

on te demande surement de dire si elle converge ou pas, puisqu'elle croit, si tu trouves un majorant c'est fini, sinon, essaie de trouver un minorant qui tend vers l'infini et utilise le théorème d'encadrement/des gendarmes (appelle le comme tu veux :P )

Mais la nature, c'est pas arithmétique, géométrique, and co?

Je sais bien qu'elle n'est ni l'un, ni l'autre, ni les deux. Mais comment le démontrer?

Bah Un est minorée et décroissante donc elle converge...

ah ok je sais pas lire, effectivement, elle décroit, donc il faut un minorant, que tu as déjà

La nature c'est la convergence ou non.

Et sinon pour montrer qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique en général il suffit de calculer 3 termes.

Pas compliqué de dire que c'est convergent. Au contraire, c'est même facile.
Mais alors, si la nature d'une suite, c'est sa convergence, c'est quoi arithmétique / géo... ?

Facile de démontrer que U_n n'est ni arithmétique ni géométrique, mais comment démontrer qu'elle n'est pas arithmético-géométrique?

Pareil, en calculant quelques termes.

Mais pourquoi tu tiens à faire l'inventaire de ce que la suite (u_n) n'est pas ?

Bah arithmético-géomètrique

c'est

U[n+1] = aU[n] + b

Faut trouver qu'il n'existe pas de réels a et b qui vérifient ça avec des contres-exemples

Bah si la nature ce n'est ni arithmétique, ni géométrique, ni arithmético-géomètrique, c'est qu'elle est quelconque.

Donc forcément, il doit montrer que la suite n'est pas l'un des 3.

On peut voir si une suite est arithmético-géométrique ou non en calculant quelques termes?

Sinon, à la base, cet exo est censé être très dur.
Au début, je pensais que c'était juste dire "La suite (U_n) est convergente", mais je me suis dit "non, c'est vraiment trop simple, faut sûrement dire si elle est arithmétique etc..."

Et je me suis entêté à déterminer sa nature (dans ma définition de nature d'une suite), dans le sens déterminer le terme général de U_n.

Mais apparemment, je me suis encore cassé la tête pour de la merde.

Ba merci alors

Non faut juste dire qu'elle converge là.

Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmético-géométrique :
u1 = a*u0 + b
u2 = a*u1 + b

Tu calcules u0 ,u1 et u2, tu résous le système en a et b (qui admet une solution unique si u0 est différent de u1).
Tu calcules a*u2 + b. Si c'est différent de u3, c'est bon. Sinon faut aller un peu plus loin.

(mais franchement ça m'étonnerait que tu aies besoin de faire ça un jour)

Ouai sauf que ici, U_0 > 0 et a>0, c'est tout ce qu'on sait.

Mais on s'en fou, t'as raison. Suffit de résoudre en considérant U_0 et a connu.
Tellement évident.

Dans ce cas c'est un peu plus compliqué, y'a peut-être des conditions sur les paramètres u0 et a². Mais de toute façon c'est pas la question.