Salut à tous,

J'ai un exercice à faire sur les matrices dans le cadre d'un DM et je galère pas mal.

Voici l'énoncé :

Dans une zone de marais, on s'intéresse à la population des libellules. On note P0 la population initiale et Pn la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l'évolution Pn par la relation suivante :
Pour tout entier naturel n, on a Pn+2 = 3/2Pn+1 - 1/2Pn
On suppose que P0=40 000 et P1=60 000

1) Calculer P2 et P3

P2=70 000 et P3=75 000

2) On considère pour tout entier naturel n la matrice colonne Vn=(Pn Pn+1)

a- Que vaut V0 ?
Ecrire les termes de la matrice Vn+1 en fonction de Pn et Pn+1 puis déterminer la matrice carrée A d'ordre 2 tek que tout n : Vn+1=AVn

C'est sur ce dernier que je bloque. J'ai trouvé :
V0=(P0 P0+1)=(40 000 60 000) (en colonne)
et
Vn+1=(Pn+1 Pn+2)

Mais je n'arrive pas à déterminer la matrice carrée A d'ordre 2, je ne sais pas comment m'y prendre.

En attendant votre précieuse aide

Il faut exprimer P_(n+1) et P_(n+2) comme combinaisons linéaires de P_n et P_(n+1).
Tu as P_(n+1) = 0*P_n + 1*P_(n+1)
et P_(n+2) = -(1/2)*P_n + (3/2)*P_(n+1)

Matriciellement ça s'écrit
V_(n+1) = A*V_n,
avec A = [0 1; -1/2 3/2]
(le ; veut dire qu'on passe à la ligne suivante)

Merci bien.

Donc maintenant que j'ai ma matrice A, que me reste-il à faire ?

Je suppose que tu dois trouver l'expression de P_n en fonction de n ? Tu as juste à diagonaliser ta matrice A (c'est-à-dire trouver les valeurs propres, les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres et les matrices de changement de bases) pour calculer la puissance n de ta matrice A.

Je crois qu'il est en terminale...

Mea culpa, si tu as bloques sur les prochaines questions n'hésite pas à nous solliciter !

• tu bloques.

Donc si je comprends bien, 1/2P_n = 3/2P_(n+1) - P_(n+2)
P_n = 3P_(n+1) - 2P_(n+2)

Et maintenant ?

Up.

Up

Je suis encore bloqué un peu plus loin...

b) Soit P et D les matrices : P=(1 2 ; 1 1) et D=(1 0 ; 0 1/2)

Déterminer l'inverse de P à la calculatrice et vérifier que A = PDP^-1

(pas de problème pour cette question)

c) En admettant que les puissances de la matrice D se déterminent en calculant les puissances des éléments de la diagonale, donner la matrice D^n en fonction de n.

Déduire la matrice A^n en fonction de n.

Je n'ai jamais fait ça en cours... De la leçon que j'ai pu lire sur le net, je dirais que D^n=(1^n 0 ; 0 1/2^n)

Que dois-je faire après cela ?

En vous remerciant par avance.

T'as A=PDP^-1. Si P*P^-1=I où I est grosso modo 1 pour des matrices,

t'auras A²=(PDP^-1)(PDP^-1)=PD²P^-1. Honnêtement, ça m'étonne beaucoup qu'on te demande de trouver un truc pareil en terminale. Je veux dire, j'ai moi même eu un peu de mal à comprendre le pourquoi de la résolution des systèmes linéaires en sup, donc bon...

Bref, de là tu peux trouver A^n. J'espère juste qu'on ne te demande pas de trouver Pn en fonction de n

Remarque non ça va après, demande si tu veux des explications

On me demande de trouver A^n en fonction de n, or tu l'as fait avec n=2 ici.

Il ne faut pas trouver le produit de PDP^-1 ?

de PD^nP^-1 *

Si quelqu'un pouvait me calculer A^n car j'en ai besoin pour la suite de l'exercice en plus de ça...

A^n = P*D^n*P^-1

D^n c'est la matrice diag(1,1/2^n). T'as plus qu'à effectuer le produit.

A^n = A*A*....*A (n fois)
Or A = PDP^-1

Donc A^n= (PDP^-1)*(PDP^-1)*...*(PDP^-1) n fois

Mais tu vois qu'il y a des P^-1*P côte à côte (en enlevant les parenthèses) or P^-1*P=I

Donc A^n=P*D*I*D*D*I*....*D*P^-1 = P*D*D*....*D*P^-1 (avec des D n fois)

D'où A^n = P*D^n*P^-1

Tu connais P ainsi que P^-1. Et tu sais que D^n = (1 0 ; 0 (1/2)^n ).
Donc pour avoir A^n tu fais un simple produit matriciel.

Voilà il y a plein d'étapes que tu peux sauter mais c'est pour être très clair

Soit dit en passant, pour la suite, comme Vn+1=A*Vn, tu obtiens Vn comme suite géométrique (c'est un peu bizarre avec des vecteurs, mais c'est certifié), donc Pn par suite