Petite question,
si a et b divisent c => ppcm(a,b) divise c
c'est toujours vrai ou pas ?

Oui, c'est la définition du ppcm : Le plus petit multiple commun à a et à b, celui qui divise tous les autres.

Faut quand même démontrer que parmi deux multiples communs à deux nombres, l'un divise toujours le deuxième.

"Faut quand même démontrer que parmi deux multiples communs à deux nombres, l'un divise toujours le deuxième."

Justement c'est ça qui me gène, c'est pas toujours vrai, si on prend 4 et 6 par exemple, 48 et 72 sont deux multiples et pourtant 48 ne divise pas 72, du coup je vois pas comment démontrer ma première propriété.

Oui ça c'est faux tu as raison. Du coup le meilleur moyen de voir le truc est de travailler sur les décompositions en facteur premier.

Jooord Voir le profil de Jooord
Posté le 25 octobre 2014 à 14:41:38 Avertir un administrateur
Faut quand même démontrer que parmi deux multiples communs à deux nombres, l'un divise toujours le deuxième

c'est faux, cf exemple ci dessus

en ce qui concerne ta propriété, le fait que ppcm(a,b) =< c découle de la définition, tu veux donc montrer que ppcm(a,b) divise c
notons x le ppcm de a et b

c=qx+r (division euclidienne)
comme a et b divisent c et x, a et b divisent r donc r =0 donc x divise c, donc le ppcm de a et b divise c

un petit ralenti pour le r=0 (je ne sais pas à quel point tu es habitué avec la division euclidienne)

c=qx+r avec 0=<r<x

avec le raisonnement de mon post précédent, on a démontré que si r est différent de 0 alors r est un multiple commun de a et b, or x est le plus petit possible et r<x : contradiction donc r = 0