Bonjour ,

J'ai trouvé un exercice dans un livre, avec sa correction (sans explications).

Le déterminant (initial) fournis dans l'énoncé est: .

La consigne est la suivante:
"Transformer le déterminant suivant (sans le calculer) de manière à mettre en facteur (x-1)."

Je sais que pour multiplier un déterminant par un scalaire, il faut multiplier toute une ligne ou toute une colonne par ce scalaire. J'opterais plutôt pour transformer la première ligne.

La solution donnée par le livre est: .

Seulement, je ne comprend pas comment on y parvient.

Pouvez vous me l'expliquer ?

Merci

L1=L1+L2-L3, ça marche pas, en factorisant après ?

J'y avais pensé, mais je bloque:

En faisant cette combinaison linéaire, j'obtiens pour L1:
0 , x-1 , x²-1 , x^4 - 1

Pour les factorisation, j'obtiens pour la première valeur 0, pour la seconde 1, pour la troisième (x+1) car c'est une identité remarquable. En revanche je coince pour la dernière. La factorisation serait donnée par [(x^4-1)/(x-1)] ?!

(x^4 -1) = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x²+1)

x^4-1 = (x²-1)(x²+1)

Comment trouvez vous ces relations ? Je n'ai pas "d'intuition" qui me vient moi

La même identité remarquable que t'as utilisé pour factoriser le premier (x²-1)
vu que (x^4 -1) = [(x²)²-1]

Effectivement

Merci, maintenant c'est clair pour moi.

J'aurais une question plus générale sur les déterminants d'ordre n > 3. Quand on veut réduire les déterminants, on utilise les combinaisons linéaires puis le développement de Laplace (avec le coefficient, son signe et son mineur).

Pour les combinaisons linéaires, y'a t-il des astuces permettant de les trouver à coup sur ? Des choses qui reviennent souvent ou qui marchent la plupart du temps ?

Dans le cas ou 2 combinaisons linéaires sont possibles pour arriver au même résultat, comment trancher entre les 2 ?