Salut les gars, j'aimerai un peu d'aide pour les dernieres questions de mon dm de proba :

A partir de la 6. (Pas besoin d'avoir le debut)

Pour la 6 ca ressemble a la somme des deux inegalites plus haut ...

La 9 je l'ai faite (normal ...) c'est surtout la 7/8 qui sont relous

Merci d'avance !

Pour la 6 :

{|S_n/n - p| > e} = {S_n/n - p < -e} U {S_n/n - p > e}, et P(AUB) <= P(A) + P(B)

Pour la 7 :

Pour n0 fixé, on pose B_n0 = A_n0 U A_(n0+1) U ...
Alors l'intersection des B_n pour n>=1 est incluse dans B_n0.
On en déduit que P(intersection des B_n) <= P(B_n0)
Or P(B_n0) <= somme P(A_k), pour k>=n0. D'où la première partie de la question.

Pour la seconde partie, il suffit de remarquer que si une série converge, son reste tend vers 0.

Pour info, il s'agit du lemme de Borel-Cantelli, très utile en probas.

Et la question 8 c'est une application directe des questions 6 et 7, avec epsilon = 1/K.

Tip top ! Merci beaucoup !

Si au passage quelqu'un avait des suggestions pour la 5...personne dans ma promo ne trouve

Applique le résultat de la question 4 à la suite de var iid Y_i = 1-X_i, qui suivent une B(1-p).

Je teste ça des que je peux

Je vois pas non ....

J'ai oublié de le preciser mais Sn designe la somme de n variables de bernoulli IID de parametre p.

Donc la ok les Yn suivent une bernoulli 1-p et leur somme une binomiale(n,1-p) mais j'arrive pas a en deduire le resultat final, enfin je vois pas comment adapter ce que j'ai trouve en 4 avec ce que tu me dis

A moins que : on a donc la somme des Yn = n-S_n

Donc (n-S_n)/n = 1 -(S_n)/n et puisque j'ai maintenant une bino de parametre 1-p je remplace le p de mon inegalite par 1-p, les 1 se simplifie j'obtiens -S_n /n +p <epsilon c'est a dire S_n /n -p >-epsilon et c'est gagné ?

C'est ça.

Un grand merci a toi alors, t'es sur tous les fronts

Il me reste plus qu'a montrer dans la question 4. une inegalité colossale ... C'etait celle h(p+epsilon) >2epsilon^2 une vraie galere personne a reussi pour le moment, il faut le deduire donc j'avais pensé aux accroissements finis mais ça fonctionne pas, une vraie galère

http://gyazo.com/39c69013942e01e12e27f5f787624182 voila la premiere partie de la feuille en plus mais tu l'avais deja je pense vu que tu m'avais aidé un peu plus tot dessus

On pose f(x) = H(x+p) -2x² (sur le bon intervalle pour que ça existe bien).
Alors f(0) = H(p) = 0
f'(0) = H'(p) = 0
f(0) = H(x+p) - 4 >= 0

Donc f admet un minimum, qui vaut 0, en 0.
Donc pour tout e>0, f(e) >= f(0), c'est à dire H(p+e) - 2e² >= 0.

Je verifie ca en aprem des que je peux, j'avais deja pense a cette idee de poser f mais pas qu fair de remplacer e par x ...

En fait remplace f(0) >= 0 par f(x) >= 0 pour tout x (sinon c'est pas forcément un minimum).

C'est du lourd et forcement j'avaisnpas fait le lien entre le fait de montrer que h'' >4 et le fait que deriver deux fois donnerait 4... Bref merci mec.

Mais attends H(0) = ln(1/1-p) =/= 0 non ?

Ok j'ai jamais autant dit de la merde je confonds avec h(p).

C'est niquel en prenant x entre 0 et 1-p ouvert on termine. J'ai bouclé mon dm merci

De rien.