Bonjour, il y a un exercice que je cherche depuis un bon moment. Déjà même dans le cas de l'intégration de Riemann je n'arrivai pas à le faire correctement, alors la..

On a E etc..un espace mesuré et u(E)=1?

f une fonction u-intégrable sur E;

Mq llfllp -> norme infinie de f quand p tend vers +infini, la limite pouvant être infinie.

Des idées, des pistes svp?

On suppose que ||f||oo < +oo
Alors g = f/||f||oo <= 1 pp, ||g||oo = 1 et ||g||p <= 1

Réciproquement, soit e > 0
(||g||p)^p >= integrale(|g| > 1-e) |g|^p >= (1-e)^p * µ({|g| > 1-e})

Par définition de la borne sup, µ({|g| > 1-e}) > 0

Alors (||g||p) >= (1-e)* µ({|g| > 1-e})^(1/p)
p -> +oo donne (||g||p) >= (1-e)

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/lecture-notes/18125_lec17.pdf

La dernière phrase est fausse :

p -> +oo donne (||g||p) >= (1-2e) à partir d'un certain rang