Voilà, j'aimerais juste avoir si possible un peu d'aide pour cet exercice (sans donner la solution, merci ) :

"On a une fonction f définie sur [-1;1] croissante telle que f(-1) > -1 et f(1) < 1. Montrer qu'il existe x0 € ]-1;1[ tq : f(x0)=x0."
Je précise que c'est dans les exos sur les bornes, donc a priori ça a un rapport.

ça revient à montrer que la fonction g : x-> f(x)-x s'annule sur ]-1;1[

Regarde ce qu'on peut dire du signe de g(-1) et g(1)

THéorème de Rolle ou Théorème des accroissments finis à vu d'oeil.

Amandin -> je suis d'accord mais comme f n'est pas forcément continue, c'est mort pour le TVI (seul théorème du genre vu jusqu'à présent)
Quant aux deux autres théorèmes, je ne les connais pas.

Si on pose A = {x/f(x) >= x}. A est non vide car -1 € A et majoré par 1 donc admet une borne supérieure a.

1) Il existe une suite (an) de points de A convergeant vers a.
On a pour tout n : an <= a donc an <= f(an) <= f(a). En passant à la limite an -> a et a <= f(a)

2) Alors, a € A. f(a) >= a. f(f(a)) >= f(a) par croissance de f. Ainsi f(a) € A. Mais comme a = sup(A), on a en fait f(a) = a