Bonjour,

j'ai rendu lors de mon DM un raisonnement "inédit" et faux selon mon prof mais je ne vois pourtant pas où est le problème... Voici l'énoncé (un peu modifié parce qu'il y a des questions avant la question qui nous intéresse) :

1. Pour tout entier naturel n, Un+1 = 3Un - 2n + 3 et Un = 3^n + n - 1.Soit p un entier naturel non nul. On sait qu'il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n >= n0, (Un) >= 10^p.

La question : Justifier que n0 =< 3p

Mon raisonnement a été de faire le contre exemple de la contraposée :
- Justifier que n0 =< 3P est vrai revient à démontrer que n0 > 3p est faux (que la contraposée est fausse).
- n0 > 3p est faux si il existe p appartenant à N tel que n0 =< 3p (si il y a un contre-exemple ou l'inégalité n'est pas vérifiée quoi).
- Hors, pour p=3, n0 = 7 et 7 =< 21 (il y a donc un contre exemple) donc n0 > 3p est fausse et n0 =< 3p est vrai.

Là, mon prof de maths (je suis en S-SVT spé Maths) a écrit : "Si je comprends bien pour démontrer une propriété il suffit de vérifier qu'elle est vraie sur un exemple ?".
Je ne comprends pas pourquoi il dit ça : j'ai utilisé un contre exemple pour montrer que la contraposée était fausse afin de montrer que la propriété de base est vraie.

Quelqu'un pourrait m'expliquer ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?

Il ne faut pas confondre :

Pour tout p, la propriété "n0 > 3p" est fausse

et

la propriété "pour tout p, n0 > 3p" est fausse

Toi ce que tu veux démontrer c'est la première, pourtant avec ton histoire de contre-exemple tu démontres la seconde.

Je ne comprends pas bien : pour moi justifier que n0 =< 3p, ça signifie qu'il faut montrer que quel que soit p appartenant à N*, n0 sera toujours inférieur ou égal à 3p. Donc c'est pour moi la seconde qu'il faut démontrer, désolé si j'ai mal introduit le problème.

"Pour tout entier p non nul, justifier que n0 =< 3p" est la question.

Le truc c'est que n0 c'est pas n'importe quoi, il est défini en fonction de p (c'est le plus petit entier N vérifiant "pour tout n >= N, u_n > 10^p").
D'ailleurs ton raisonnement ne fait pas du tout intervenir la suite u_n, ça devrait te laisser penser qu'il y a un problème.

Tu veux montrer que :

Pour tout p, n0 =< 3p est vraie.

la contrapposée de cette assertion est :

Pour tout p, n0 > 3p est fausse.

Ce que tu prouves toi, c'est que n0 > 3p n'est fausse que pour un seul p, ce qui évidemment ne suffit pas.

Ben pour moi si il y a un contre-exemple on ne peut pas dire pour tout p, n0 > 3p. L'énoncé dit "Pour tout" donc normalement tout les p doivent être juste : si il y en a un seul de faux alors la contraposée ne peut être considérée vrai.

Par exemple si je dis pour tout x appartenant à R, x² est positif. Si, admettons, il existe un réel tel que x² est négatif alors la propriété de base serait fausse non vu qu'on dit "pour tout" ?

Je fais intervenir Un pour générer le contre exemple en prenant p = 3 et ensuite avec ma calculatrice graphique j'ai cherché le rang de (Un) qui serait n0.

Ah oui en effet, j'avais mal compris ce que t'avais fait (mais ça reste faux )

Ben pourquoi c'est ça que j'aimerais comprendre.
Par contre je remarque qu'au second tiré j'ai oublié de mettre l'étoile à N : c'est p appartenant à N*.

Tu dois montrer "pour tout p, n0 > 3p est fausse".
Tu as montré : "pour p = 3, n0 > 3p est fausse".

Encore une fois, la contrapposée n'est pas :

"n0 > 3p pour tout p" est fausse

mais "no > 3p" est fausse pour tout p.

La différence est énorme.

La première phrase nous dit qu'il est faux de dire que n0 > 3p pour tous les p (sous-entendant donc qu'il existe un p pour lequel l'inégalité est fausse) alors que la deuxième phrase nous dit que pour tous les p, il est faux de dire que n0 > 3p (sous-entendant donc que l'inégalité est fausse pour tout p)

Mais oui ! J'ai montré que pour un p que n0 > 3p est fausse.

Quoique je ne comprends toujours pas bien parce que :
"Pour tout p, n0 > 3p" est fausse si "Il existe un p tel que n0 =< 3p" non ? C'est si je voulais montrer que "Pour tout p, n0 > 3p" était vrai que j'aurais du le montrer pour tout p non ?

Là j'ai compris c'est ma contraposée qui était mal élaborée :

J'ai fait "n0 > 3p pour tout p" est fausse alors qu'il fallait faire "no > 3p" est fausse pour tout p. Merci KlausVS.

Ma contraposée était "n0 > 3p est vrai pour tout p" : j'ai pensé à changé le =< en > mais pas le vrai en faux...

Bon ben merci c'est plus clair maintenant.