Bon, on connaît pas ton niveau du coup on va faire plusieurs "étapes".
Etape 1 : une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner sans lever le crayon.
Etape 2 : une fonction continue est une fonction telle que deux points proches de l'espace de départ auront leurs images proches dans l'espace d'arrivée de la fonction.
Etape 3 : une fonction continue est telle que plus les deux points de l'espace d'arrivée sont proches, plus leurs images sont proches. En particulier, si on a une suite de points (Xn) qui tend vers a quand n tend vers l'infini, f continue en a signifie que f(Xn) tend vers f(x) quand n tend vers l'infini.
Etape 4 : f continue en a réel signifie pour tout E réel positif, il existe D tel que si |x1-a|<D, alors |f(x1)-f(x)|<E et f est continue tout entière si cela est vrai pour tout a de l'espace de départ.
Etape 5 : dans un espace métrique, une fonction est continue si l'image de tout compact de l'espace de départ est un compact dans l'espace d'arrivé.