Je bute actuellement sur un exercice de récurrence.
On me demande d'abord de déterminer f(0) (déjà fait) et f(1) sachant que f(x)+fof(x)=2x, et f est une application de N dans N. On ne sait pas que f est injective (et ce n'est pas à démontrer). Je n'arrive pas à montrer que f(1)=1

Ensuite, on me demande à l'aide d'une récurrence forte de prouver que f(x) est la fonction identité. (On sait maintenant que f est injective)
Pas de problème pour l'initialisation, puis pour l'hérédité, je suppose que P(n) est vrai pour k € [1,n].
Vu que f est injective, f(n+1) est forcément supérieur ou égal à n+1. Puis là, je ne sais plus quoi faire

Merci pour votre aide

1. Je n'arrive pas à montrer que f(1)=1

Montre que f(1) ne peut ni être égal à 0, ni strictement supérieur à 1.

Notons (*) ta relation f(x) + fof(x) = 2x pour faire court.

f(1) = 0 est impossible, il y a juste à montrer que f(1) ne peut pas être égal à 2. Mais si f(1) = 2, alors f(2) = 0 en faisant x = 1 dans (*). En faisant x = 2 dans (*), on a f(2) + fof(2) = 4. Comme f(2) = f(0) = 0, cela donne 0 = 4 : niet. Donc forcément f(1) = 1.

Pour ta récurrence : comme f(n+1) >= n+1 et que f est injective, f(f(n+1)) ne peut pas être égal à 0..1..n, donc est aussi >= n+1. Mais comme la somme des deux fait 2*(n+1), il y a en fait égalité et la récurrence est finie.

Merci beaucoup