Je refais le topic car le dernier a bidé et le titre parlait de récurrence alors que non.

"Soit la suite (Un) définie pourr tout n>=1 par : Un = sqrt(n+1) - sqrt(n)

1. a. Démontrer que pour tout n>=1 : 1/(2*sqrt(n+1)) =< Un =< 1/2*sqrt(n)"

Aucune idée de comment faire.

iv555 Voir le profil de iv555
Posté le 20 septembre 2014 à 12:14:36 Avertir un administrateur
Pas besoin de récurrence, en plus ça doit pas marcher ici.
T'es 2 possibilités : soit de passer par les intégrales mais je pense que tu connais pas encore ça, soit de passer par les formes conjuguées comme souvent avec les racines carrées)

sqrt(n+1) - sqrt(n) = (sqrt(n+1) - sqrt(n)) * (sqrt(n+1) + sqrt(n))/(sqrt(n+1) + sqrt(n))

Merci (j'avais vu ta réponse mais je n'ai pas répondu car vu que je ne l'ai pas vu immédiatement, j'avais peur que tu ne vois pas la mienne) mais je ne comprends pas en quoi ça m'aide.

J'ai Un = 1 / (sqrt(n+1) + sqrt(n))

et après ? Si je multiplie les inégalités par cette même expression conjuguée ça m'aide pas.

T'as vu la méthode des intégrales ?

Non. On a juste fait tout ce qui se rapproche de près ou de loin des suites.

Pas besoin d’intégrales :

sqrt(n+1) > sqrt(n) (car sqrt strictement croissante)
t'ajoutes sqrt(n+1) :
2sqrt(n+1) > sqrt(n+1) +sqrt(n)

et sqrt(n+1) > sqrt(n)
<=> sqrt(n+1) + sqrt(n) > 2 sqrt(n)

Donc : 2sqrt(n+1) > sqrt(n+1) + sqrt(n) > 2 sqrt(n)
Tu passes à l'inverse car n>=1

Ah bah oui merci, beaucoup !

Et du coup (je saute des questions que je sais faire) :

"La suite (Wn) es tdéfinie pour tout n>=1 par : Wn = (u0+u1+...+un)/(sqrt(n))"

Comment je suis censé arriver à calculer la limite de Wn ?

Y a pas eu des questions pour montrer que Un est arithmétique ou géométrique ?

Non. J'aurais su sinon mais là.

Pas besoin en fait, si tu fais la somme tu vois facilement qu'il reste que u0 et un.

Écris la somme pour des petites valeurs de n et tu remarquera vite que certains termes vont s’annuler.

Même pas ! Le u0 disparait : sqrt(0+1) - sqrt(0) = 1

Or avec U1 = sqrt(1+1) - sqrt(1)

U0+U1 = sqrt(2)

Donc au fur et à mesure tout s'annule.
Donc au final j'ai sqrt(n+1)/sqrt(n) non ?

Donc sqrt(n)*sqrt(n+1) ?

Donc limite=+oo

C'est bon ou c'est bancal ?

"Donc au final j'ai sqrt(n+1)/sqrt(n) non ?

Donc sqrt(n)*sqrt(n+1) ?"

What ?

Les suites c'est vraiment le pire chapitre de terminale s

Merde Papalia, j'ai dit du caca. ( )

J'ai sqrt(n+1)/sqrt(n)

Après pour avoir la limite je fais comment ?

Factorise par n dans la racine