Bonsoir,

j'aurais besoin d'un peu d'aide pour mon exo svp

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :

1) 4n+5 est un multiple de 3
2) 4n+1+6n+5 est divisible par 9

La 1) ne me pose pas de pb, je trouve : 3(4k-3)-5

Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la 2) et pour les suivantes.

Mets déjà les paranthèses et signe puissance là ou il faut

t'es sur que t'as pas fait d'erreur pour ta 2 eme expression ?

4n+1+6n+5=10n+6

on prend n= 0, ça fait 6

Or 6 n'est pas divisible par 9 ...

Oui dsl.

1) 4^n + 5 est un multiple de 3
2) 4^n+1 + 6n +5 est divisible par 9

Pour la 1) j'ai procédé comme cela :

Je veux montrer que Pn+1est vraie (multiple de 3):
= 4^n+1 + 5 = 4*4n + 4*5 - 15
= 4(4^n+5) - 15
= 4*3k - 3*5
= 3(4k-5)

Up

2) l'initialisation est triviale

au rang n+1 on veut montrer que
(4^n+2) + 6(n+1) +5 est divisible par 9
soit que 4*(4^n+1) + 6(n) +11 est divisible par 9

or on a que 4*( 4^n+1 + 6n +5) est divisible par 9 par hypothèse de récurence (et multipication par 4)

le problème revient par soustraction à montrer que
6(n) +11- 24n -20 est divisble par 9 ce qui est trivial à montrer

4^(n+1)+6n+5

n=0, 4^1+0+5=9 divisible par 9

donc vérifié au rang 1

P(n) : 4^(n+1)+6n+5=9k

P(n+1) : 4^(n+2)+6n+6+5=9k

Selon p(n) supposé vrai :

On a : 4^(n+1)=9k-6n+5

Donc P(n+1) : (9k-6n+5)*4+6n+5=9k

36k-24n+20+6n+5=9k
-18n+15=-25k
18n-15=25k

donc c'est vérifié

4^(n+1)+6n+5 =9k

soit 4^(n+2)+6n+6+5=9k

4^(n+1)+6n+5=9k

On multiplie par 4 :

4^(n+2)+24n+20=36k

4^(n+2)+24n+20=9*(4k)

donc c'est bon

Merci les gars, vous m'aider vraiment

4^n - 1 est multiple de 3 ( j'ai réussi seulement celui-ci.

Par contre je n'arrive pas à appliquer votre méthode pour les 2 suivants ...

- 3^3n+2 + 2^n+4 est divisible par 5
- 7*3^5n + 4 est multiple de 11.

Ce n'est pas -3 et -7 c'est juste un tiret ^^

c'est bien :
3^3n+2 + 2^n+4 est divisible par 5
et 7*3^5n + 4 est multiple de 11.

Franchement c'est tout le temps la même méthode, à quelque variation prêt, ça servirait à rien que tu te contentes de lire, comprendre mais pas réussir à ré appliquer.

Ok, je vais essayer.

Sinon pour démontrer la deuxième tu peux utiliser le résultat de 1)

4^(n+2)+6n+6+5 = 4^(n+1)+6n+5 + 3(4^(n+1)+2)
= 9q + 3(4^(n+1)+2) par hypothèse
=9q + 3(4^n+5 + 3*4^n-3)
=9q + 3(3k + 3(4^n-1))
=9(q+4^n-1)
=9p

or on a que 4*( 4^n+1 + 6n +5) est divisible par 9 par hypothèse de récurence (et multipication par 4)

Pourquoi le 4 devient facteur de 6n + 5 ici ?

Si 9 divise X alors 9 divise 4X