Bonjour, j'aimerai montrer que la somme des k=0 à n de (z + exp((2*pi*k*i)*n))^n = n(z^n+1) avec z un complexe
par récurrence ça me semble compliqué et j'ai remarqué que la somme de k=0 à n-1 de exp(2k*pi*i/n) = 0 mais ça me donne rien de bien
Merci d'avance

la somme des k=0 à n-1 de (z + exp((2*pi*k*i)/n))^n = n(z^n+1)

Je sais pas si c'est la meilleure façon de faire mais je l'ai fait en développant avec le binôme de Newton. Tu te retrouves avec une double somme, l'une pour k variant de 0 à n-1, l'autre pour j variant de 0 à n. Tu peux inverser les deux sommes, et séparer les cas :
j = 0
j = n
0 < j < n : dans ce cas la somme sur k sera nulle.

Merci beaucoup grâce à toi j'ai pu m'en sortir
J'ai fait deux trois autres questions mais on me demande de réutiliser cette première formule pour déterminer somme k=0 à n-1 (-1)^k * cos^n((2k-1)pi/(2n)), j'ai essayé de séparer les cas k paires et impaires mais ça donne rien, rajouter une partie imaginaire non plus

somme k=0 à n-1 (-1)^k * cos^n((2k-1)pi/(2n)) c'est la partie réelle de la somme que t'as calculé en premier

ah non je me suis trompé, mais il faut passer par la forme exponentielle et prendre la partie réelle

Oui je me doute qu'il fasse prendre la partie réelle de la forme exponentielle mais même sachant ça je n'arrive à rien, c'est surtout le (-1)^k qui me dérange en fait

en posant z=1 dans la première formule j'ai trouvé la somme des (-1)^k cos^n(k*pi/n) mais il me faut (-1)^k*cos^n((2k-1)pi/2n) ...

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