Salut !

Comment montrer que 3 est un diviseur de 4^(k) -1 ?

Merci :D

Ca se fait très bien par congruence.

La congruence doit pas être de mon niveau :p Et récurrence je pense pas car on doit normalement arriver à une multiplication avec 3 en facteur.

Si tu n'as pas vu les congruences, çà se fait aussi par récurrence avec pour hypothèse de récurrence qu'au rang k : 4^k-1=3k' avec k' entier

Ouais et après tu fais une récurrence ?

euh je pense que le mieux, c'est de savoir que:
a^k - b^k = (a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)*b +...+ a*b^(n-2) + b^(n-1) )

bien sur, n doit etre remplacé par k (inattention, désolé)

Pas idiot mais trop fastidieux pour rien. La récurrence marche à merveille ici.

C'est moins fastidieux et plus élégant je trouve...

4^1-1=3 divisible par 3

4^k-1=3*m
4^k=3*m+1
4^(k+1)=4(3*m+1)=3*(4m+1)+1
4^(k+1)-1 divisible par 3

Ha pardon autant pour moi, je sais pas pourquoi j'ai cru que tu utilisais la formule du binôme de newton.
Effectivement.

Ils savent, mais n'y pensent pas. D'ailleurs ici je pense que j'aurais mis moi aussi plus de temps à y penser qu'à le faire par la grosse machine implacable qu'est la récurrence.

Ce que je veux dire, c'est que ça ne fait pas appel à des règles qu'ils ne connaissent pas et ça reste une formule assez élémentaire. Ils ne la savent pas car on ne la leur apprend pas.

Je ne suis pas d'accord avec l'utilisation du mot "savoir" dans ce contexte là c'est tout. On ne sait pas une égalité, on la connaît de mémoire ou on peut la calculer. C'est un peu du pinaillage je le reconnais volontiers mais...

La formule de Bernoulli se voit en maths sup, c'est impossible qu'un TS pense à cette formule pour un exo de ce type.

J'ai finalement trouvé la solution sans récurrence en disant que :

4^k = 1+4+4²+...+4^k = 1-4^(k+1)/(1/4) soit (4^(k+1)-1)/3

On obtient 4^(k)-1 = 3*(1+4+4²+...+4^(k-1))

" 4^k = 1+4+4²+...+4^k " oulà, grosse grosse faute. 4^k c'est 4*4*4*4 ... *4 (k fois).

Enlève le "4^k =" oui ^^