Voilà je viens de commencer le chapitre sur les espaces vectoriels et je suis bloqué à une question d'un exercice.

E={P€R4[X] / P(1)=P(-1)}
R4[X] étant l'ensemble des polynômes de degré inferieur ou égal à 4 pour que ce soit clair pour tout le monde.

1) Montrer que E est un ev.
2) Montrer que dim(E)=4

Voilà c'est à la question 2) que je bloque car j'ai montré que E était un ev (un sev de R4[X]) par la propriété caractéristique et non en trouvant E=Vect de qqch.
Du coup je n'arrive pas à trouver de famille génératrice de E et encore moins une base pour trouver sa dimension.

Quelqu'un pour m'indiquer la voie à suivre svp ?

Salut
Méthode en 2 lignes :
f(P) = P(1) - P(-1) est une forme linéaire non nulle sur R4[X]
E est le noyau de f donc il a une dimension de moins que R4[X] c'est à dire 3 !

Si tu veux une méthode plus constructive dis le xd

• c'est à dire 4

Ouh la j'ai pas tout compris, j'en suis vraiment qu'au début du chapitre (bases, dim) et un peu d'application linéaire (endomorphisme, noyau).

Donc si tu pouvais m'expliquer un peu plus clairement ça serait super sympa oui

un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle
or la dimension de l'hyperplan c'est la dim de l'espace -1

D'accord mais pourquoi P(1)-P(-1) est non nulle puisque P(1)=P(-1).

(Désolé si ma question est débile mais je débute et j'aimerais bien tout comprendre)

Bon sinon plus logique : tu te rends compte que la dimension de l'espace est <= 4, si tu trouves 4 polynomes en famille libre qui fonctionnent, alors la dimension de E est >= 4 donc égale à 4 et tu as ta base!

X², X^4 déjà 2 polynomes
X^3 - X un 3e
X²-1 un 4e

Ok merci pour la deuxième méthode. Je demanderai à mon prof de m'expliquer plus clairement la première méthode, merci beaucoup