Bonjour, je n'arrive pas à résoudre l'exercice de proba suivant, quelqu'un peut m'aider ?

Je recopie l'énoncé tel quel :

"Nous procédons à un nombre infini des tirages dans une suite de urnes. Au n-ième tirage l'urne contient une boule blanche et n-1 boules noires. Calculer la probabilité de tirer un nombre infini de boules blanches."

alors ?

On va pas faire tes devoirs à ta place.

Bien sûr que non, ce serait pour m'aider, pour me donner un coup de main

M'aiguiller sur le bon chemin

c'est 1

tu peux utiliser le lemme de Borel-Cantelli

qui te dit directement que la probabilité est 0

Ah non il y a un soucis attend parce que la somme des 1/n est divergente. Du coup faut utiliser le deuxième lemme de Borel Cantelli qui te dit directement qu'au contraire la probabilité est 1 comme le disait leohh

La somme ?

Ce sont n tirages indépendants puis qu'on pioche dans des urnes différentes. Donc les probas se multiplient (et ne s'ajoutent pas)

Donc au bout de n lancer, la probabilité d'avoir n boules blanches vaut
1*1/2*1/3*1/4*...*1/n

Suffit de prendre la limite quand n tend vers l'infini de ce produit, ce qui est assez facile.

(enfin je veux dire qu'on a même pas besoin de faire appel à la somme et de ce lemme puisqu'on a l'indépendance entre les tirages, et non lancers )

je parle de la somme des proba de Xn avec Xn:= tirer la boule blanche au n-ème tirage

on a P(Xn)=1/n donc Somme des P(Xn) = +oo donc d'après la loi du zéro-un de Borel Cantelli, on a P(Xn se réalise une infinité de fois)=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Borel-Cantelli

Oui je me suis rendu compte que j'avais lu ton message un peu trop vite excuse-moi.

c'est quand même bizarre de se dire que si au lieu d'y avoir n-1 boules noires il y en avait n²-1 alors la proba de tirer une infinité de boule blanche est nulle.

là en fait ça marche parce qu'il y a pas "assez" de boules noire dans les urnes, c'est marrant

Heu là je suis pas d'accord. Le lemme n'est valable que dans le cas où la somme est finie.
Là tu utilises la loi du zéro-un donné en bas de page. Regarde la remarque donnée en bas sous cette loi.

la probabilité de tirer une infinité de boules blanches est nulle. Et d'ailleurs on a même pas besoin d'avoir n boules au total au n-ième lancer non ?

Si je prends une boule noire et une boule blanche à chaque tirage, la probabilité d'avoir n boules blanches au n-ième lancer vaut 0.5^n car c'est une loi géométrique et ceci car chaque tirage est indépendant et est une épreuve de Bernouilli. On voit bien que cette probabilité tend vers 0.

Là la probabilité d'avoir une blanche au 1 lancer est 1, 1/2 au second,..1/n au n-ième. Comme c'est indépendant, on peut faire le produit et on obtient 1*1/2*...*1/n d'avoir eu n boules blanches au n-ième lancer.

Si j'ai faux je ne sais pas d'où ça vient.

je comprends pas trop,

j'ai bien dit que j'utilisais la loi du zéro-un dans mon message de 21:22 et d'après cette loi la proba d'avoir une infinité de boule blanche est 1.

moi je suis d'accord avec ton calcul sauf que quand tu fais le produit ça correspond pas à l'événement "tirer une infinité de boule blanche". Toi ce que tu calcules c'est l'événement "ne tirer que des boules blanches" et ça c'est de proba 0 oui.

Effectivement ! Faut vraiment que j'évite de faire des probas en étant fatigué. Bon ben encore désolé.