Je bloque sur une quesiton de mon exercice :

J'ai l'equation complexe suivante :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?z^4-6(1+i)z^3+(8+36i)z^2+(30-78i)z-65=0

[Démontrer que l'équation admet exactement deux solutions imaginaires pures]

-J'ai essayé de remplacer z par x+iy et de répartir par la suite après développent les réels et les imaginaires mais c'est très fastidieux

- J'ai essayé de poser z= iy en supposant au départ que Rez=0
mais je me retrouve avec une équation du 4ème degré... enfin je ne sais pas

Merci d'avance

ps: désolé pour l'heure tardive

Bon je vais partir, je repasserai sur le topic très prochainement si jamais de valeureuses âmes ont prit la peine de répondre, merci

Tu remarques que i est racine évidente, et 5i aussi. Tu factorises par (z-i) et (z-5i) (par exemple en posant la division polynomiale) et ensuite t'as un polynôme de degrée 2 qui reste :
(z-i)(z-5.i)(z² - 6 z + 13)
Comme les coeffs de z² - 6 z + 13 sont dans ℝ alors les deux racines de ce poly sont complexes conjuguées (parce que Δ' = 9 - 13 < 0), et ne peuvent être imaginaires pures sinon le coeff devant z serait nul (c'est la somme des racines).

Donc il n'y a que 2 solutions imaginaires pures

Si tu ne remarques pas que i et 5i sont racines "évidentes" tu peux faire comme ça aussi :

Tu écris l'évaluation du polynôme en un imaginaire pur iy.
Tu sépares l'équation en partie réelle nulle et partie imaginaire nulle. Ton équation sur la partie imaginaire est de degré trois et le polynôme n'a pas de coeff constant donc tu factorises par y et tu as un trinôme du second degré à résoudre.
Tu obtiens deux solutions pour y et tu vérifies qu'elles annulent bien le polynôme correspondant à la partie réelle de notre équation.

Ensuite, tu as trouvé les deux solutions imaginaires pures et tu termines comme Chouhartem.

Dark qui m'a grillé

Quand tu vois des équations comme ça pense direct aux solutions évidente, là c'était à i qu'il fallait penser, l'autre racine (5i) se trouve direct après.

Par contre les relations coefficient-racines pas sûr qu'il connaisse

JamyGourmand Je suis parti sur les relations coeff-racines, mais j'ai rien trouvé d'intelligent à dire

Au pire tu résous l'équation de degré 2 « z² - 6 z + 13 = 0 » classiquement, c'est juste plus laborieux

j'ai pas compris comment vous avez trouvez ces racines évidentes " i et 5i" ? quelqu'un peut m'expliquer merci

DiiKenZ Maple

Non, pardon, pour i tu fais remplaces juste z par i, tu l’intuites parce que l’énoncé te dit « imaginaire pure » et que tu peux remarquer que Re(P(i)) = 1 - 6 - 8 + 78 - 65 = 0, et t'as plus qu'à vérifier que Im(P(i)) = 0 aussi.

Ensuite en supposant que l’énoncé dit vrai, tu remarques que dans la factorisation par (z-i) ya du 5.i dans la somme des racines (qui est (-6 + 5.i) ) et dans le produit (-65.i). Du coup tu tentes ta chances

Ou alors la méthode de Dagnyr est bien trouvée aussi

Si y avait un moyen sûr de toujours trouver des racines évidentes d'un polynôme, ça se saurait

Tu regardes un peu le polynôme et tu tentes l'intuition.

Dans ce cas là, tu as comme indication que les solutions sont imaginaires pures. Il n'y a donc pas de mal à tester : -3i, -2i, -i, i, 2i et 3i. On a de la chance, i fonctionne.

Tu factorises et tu regardes la gueule de ce qui te reste et tu vois que y a du 5i qui se promène. En tout cas c'est comme ça que j'ai fais

merci mais tu peux me montrer la 1ere ligne de ce que sa donne quand tu factorise par (z-1) car j'arrive pas, merci