Salut, c'est encore moi !

J'ai un problème, je connais la définition d'une suite majorée : un < ou = M

Mais qu'est ce que M représente ? Comment le déterminer ? Enfait : c'est quoi ?

Car là je faisais un exercice, un QCM plus précisément :

"Une suite définie par Uo=2 et pour tout n de N, Un+1 = 1,02Un + 4, représenter graphiquement les premiers termes de a suite u afin de ocnjectuer une réponse aux questions suivantes :

3. u est majorée par 20."

Vrai ou faux ? Et pourquoi 20 ? Et comment savoir ?

Aidez moi, merci !

Non, la définition de (u_n) majorée c'est "Il existe un M tel que pour tout n, u_n =< M".

Autrement dit : les termes de la suite ne dépassent jamais M.

Ah et M est fixé comment ?

Il est fixé par la définition de la suite, il existe des suites majorée et des suites qui ne le sont pas c'est tout.

Maintenant si on te donne une suite majorée on peut te demander de trouver un majorant de celle-ci.

Et on le trouve comment ?

M n'est pas "fixé". Soit il existe, soit il existe pas.
Et s'il existe, il est pas unique puisque n'importe quel nombre plus grand convient aussi.

Par exemple si 3 est un majorant d'une suite, n'importe quel nombre plus grand que 3 est aussi un majorant de cette suite.

Calcule les premiers termes de ta suite, ça te donnera une idée...

Il n'y a pas vraiment de méthode générale qui marche à tous les coups pour déterminer si une suite est majorée, ni pour trouver un majorant. Ça dépend vraiment des cas, ça peut être simple comme très compliqué.

Mais si par exemple tu trouves un terme de la suite qui est > 20, ça montrera que la suite n'est PAS majorée par 20. Par contre ça ne prouve pas qu'il n'existe pas un autre majorant, plus grand.

Ouais j'ai calculé, u5 si je me bien dépasse 20.
D'ailleurs cette suite ne doit pas avoir de majorant.

Mais c'était pour savoir pour en général.
Bref merci beaucoup !

En effet, u5 > 20 et cette suite n'est pas majorée.

Ah ouais mais le majorant/minorant c'est la limite en fait ?

Genre pour 1/n², la limite c'est 0 mais le minorant c'est 0 aussi puisque Un >= 0 ?

D'où "D'après le théorème de la convergence (ou limite) monotone :

si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente." (de kartable.fr)

sauf erreur de ma part ?

Attention, une suite peut être majorée/minorée sans avoir de limite. Exemple : (-1)^n.

SI la limite existe, alors la suite est majorée, mais on ne peut pas dire LE majorant, il en existe une infinité.

Pour reprendre ton exemple, 0 est effectivement un minorant, mais -1 aussi, -2 aussi, -36.564 aussi...

Dans le théorème que tu cites, on pourrait ajouter qu'alors la limite est égale au plus petit des majorants (ça s'appelle une borne supérieure), mais ça n'est pas à ton programme.

Exact, merci beaucoup !
Merci encore d'avoir pris ton temps pour m'expliquer, car c'était un point pas très clair pour moi !

De rien.