salut a tous, je fais actuellement le sujet de proba 2011 de l'isfa et j'ai besoin de votre aide concernant une question car il n'ya pas de correction disponible.

Il s'agit d'un jeu de flechettes: On suppose maintenant (uniquement dans cette question) que chaque
joueur a le droit a trois
fl echettes. Si l'une d'elles atteint le c oeur de la
cible, alors le jeu s'arrete et il gagne. Sinon c'est a l'autre joueur d'avoir le droit a trois fl echettes, et ainsi de suite... Le joueur A commence
toujours. Quelle est la probabilit e que l' epreuve soit remport ee par le joueur A?

on nous dit que la probabilité qu'un des joueurs lance une flechette au coeur de la cible est de 0.8

j'ai fait le raisonnement suivant:

La probabilité que le pjoueur A lance au centre avec l'une de ses trois premieres flechettes est P=0,8+0,2x0,8+0.2x0.2x0.8

ensuite on doit ajoute la probabilité qu'il rate ses 3 premieres flechettes, que le joueur B rate aussi ses 3 flechettes et qu'il réussisse avec ses deuxiemes flechettes: ici ca nous donne P=(0.2x0.2x0.2)²*(0,8+0,2x0,8+0.2x0.2x0.8)

Finalement on a P=somme de k=0 à n des (0.2x0.2x0.2)^(2k)*(0,8+0,2x0,8+0.2x0.2x0.8)et on doit faire tendre n vers +infini, la je calcule la serie qui est bien convergente car j'ai une raison inferieure a 1.

C'est bien ca vous pensez ?

Oui ça me semble bon. Spontanément j'aurais plutôt écrit 1-0.2^3 pour la première proba. Finalement on obtient 1/(1+0.2^3), sauf erreur.

pourquoi 1-0.2^3 ?

j'ai additionné les probabilités des 3 facons de gagner sur ses 3 premieres flechettes simplement

Ouais apres y a juste a faire le calcul avec la série

ah oui d'accord jai compris. ca fait la meme chose

Oui oui c'est pareil, c'est juste une autre façon de raisonner.

d'ailleurs tu connaitrais par quelqu'un qui a des annales corrigées de proba des ecoles dactuaires ?

Enfait jsuis en MP et je passe les probas au BECEAS car je me sens plus a l'aise dessus, mais pour faire des annales isfa c'est compliqué vu que y a pas de corrigé. Je fais des annales de HEC-ESSEC mais c'est un peu different

Non désolé je connais pas. Pour l'ISFA je sais pas mais pour l'ISUP il semble pas exister de corrigé (y'avait pas de proba au concours aussi).

Enfin tu peux toujours demander ici si tu bloques vraiment.

ahah je veux bien que tu verifies la suite alors

Revenons aux r egles de la premi ere question (une
echette a la fois
pour chaque joueur). C'est toujours le joueur A qui commence. Le jeu
n' etant pas equitable, les joueurs d ecident de se donner un objectif plus
di cile que le centre de la cible (avec une probabilit e de succ es d'un
lancer de p). D eterminer toutes les probabilit es p 2 [0; 1] qui rendent
le jeu equitable (probabilit e que le joueur A gagne = probabilit e que le
joueur B gagne). Que se passe-t-il quand le jeu est equitable ?

P(Agagne)= p*serie des (1-p)^2k= 1/(2-p)
P(Bgagne)=p*serie des (1-p)^2k+1=(1-p)/(2-p)

donc le jeu est equitable pour p=0, et dans ce cas le jeu ne s'arrete jamais.

Merci d'avance, c'est la derniere que je demande

Et les p^3 ?

Comment ca les p^3 ? ici on lance chaque joueur lance une flechette puis laisse l'autre lancer une flechette donc pourquoi des p^3 ?

Ah ok j'avais pas vu.

Mais sinon c'est ça. Faut juste bien préciser que les expressions calculées sont valables pour 0 < p <= 1.
Le résultat est assez intuitif, celui qui commence est toujours avantagé.

nouvelle annale, nouveau probleme

Rams es II a eu de nombreux enfants (plus d'une centaine) avec 7
concubines principales et environ 200 concubines en tout, et aurait surv ecu
a une tr es grande partie de ses enfants, m^eme si son treizi eme ls a pu lui
succ eder. Nous allons supposer qu' a cette epoque, les actuaires utilisent des
tables de mortalit e tr es simples construites a partir de la loi exponentielle,
et qu'il n'y a pas de ph enom ene d'actualisation ou de taux d'int er^et. Par
souci de simpli cation, nous supposerons que Rams es II a eu 100 enfants le
m^eme jour, alors que Rams es II avait exactement 20 ans. Soit X0 la dur ee
de vie r esiduelle de Rams es II, et soit Xk, 1 k 100 les dur ees de vie
de ses enfants. On suppose que les Xi, 0 i 100 sont ind ependants
et identiquement distribu es (i.i.d.) de loi exponentielle de param etre (de
densit e g(x) = lambdaexp(-lambda x) pour x 0). On admettra le r esultat suivant : si X
est une variable al eatoire positive admettant la densit e fX, alors pour toute
variable al eatoire Y ind ependante de X (la on nous donne l'expression de P(Y>X) )

1. Supposons qu' a l' epoque l'esp erance de vie soit de 30 ans. Comment
choisir de mani ere a respecter cette contrainte ?
2. D eterminer et donner la valeur num erique de la probabilit e que Rams es
II vive plus de 86 ans selon cette approche.
3. Quelle est la probabilit e que Rams es II perde au moins un de ses 100
enfants avant de d ec eder ?

1) C'est E(X0)=1/lambda donc lambda=1/30
2) c'est P(X0+20>86)=P(X0>66)=1-P(X0<=66) avec la fonction de repartition on a le resultat.
3) la j'ai un peu plus de mal. Si j'appelle A l'evenenemnt " Rams es II perde au moins un de ses 100
enfants avant de d ec eder" j'ai l'evenement contraire B:"ramses II ne perd aucun de ses 100 enfants"

or la probabilité de B c'est la probabilité que chaque Xi soit > X0 donc puisque chaque Xi suit la meme loi que X1 c'est P(X1>X0)^100, et la j'ai utilisé la formule qu'on nous donne pour ca, et je trouve P(X1>X0)=1/2, ca me parait logique car finalement meme si Ramses II a vécu 20 ans, le temps qu'il lui reste a vivre suit la meme loi que le temps de ses gamins...

Un avis ?

C'est juste mais uniquement parce que la loi exponentielle est sans mémoire, c'est-à-dire que P(X>x+20|X>20) = P(X>x).

Pareil, E(X0) = E(X) = 1/lambda c'est valable pour cette raison, en appelant X l'espérance de vie à la naissance.

Pas très bon les actuaires à l'époque quand même.