Salut,
J'ai une question concernant comment prouver la convergence d'une suite d'intégrales, voici la suite :

I(n) = Intégrale[(0,+oo)(x^n)e^(-x²/2a²)]dx, elle est croissante, maintenant je dois la majorer. Est-ce que j'ai le droit d'utiliser le fait que :
lim(x->+oo)x^(n-1)e^(-x²/4a²) = 0 donc il existe b tel que quelque soit x>=b,
x^(n-1)e^(-x²/4a²)<1 <=> (x^n)e^(-x²/2a²)<x*e^(-x²/4a²)
en intégrant de 0 à t :
Intégrale[(0,t)(x^n)e^(-x²/2a²)]dx =< Inégrale[(0,t)(x*e^(-x²/4a²)]
<=> Intégrale[(0,t)(x^n)e^(-x²/2a²)]dx =< -2a²(e^(-t/4a²)-1)
<=> I(n) =< 2a² en passant à la limite ?

ça me paraît très compliqué pour rien, et même peut être faux ?

Utilise les règles de Riemann.

Soit f(x) une fonction continue sur [0;+infini[
Si on a k>1 et lim x^k*f(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini, alors f est intégrable sur [0;+infini[

(c'est une généralisation aux intégrales des règles de riemann sur les séries)

désolé, j'ai rien pour photographier ou scanner l'énoncé, du coup ça a l'air compliqué.
Je pense pas avoir le droit d'utiliser les règles de Riemann, c'est pour ça que j'essaye de trouver un majorant à la suite.

D'accord.
Par contre, j'ai quand même l'impression que tu te compliques la vie.

"lim(x->+oo)x^(n-1)e^(-x²/4a²) = 0 donc il existe b tel que quelque soit x>=b,
x^(n-1)e^(-x²/4a²)<1 <=> (x^n)e^(-x²/2a²)<x*e^(-x²/4a²)"

Là je suis d'accord.
Mais après, je ferais plutôt :
(x^n)e^(-x²/2a²) continue sur [0;b] pour tout n donc intégrale converge sur [0;b]

int((b,infini)(x^n)e^(-x²/2a²))<int((b,infini)x*e^
(-x²/4a²))

int((b,infini)(x^n)e^(-x²/2a²))=< 2a²(e^(-b/4a²)-1)

(j'ai repris ton calcul de primitive ici, je n'ai pas vérifié)

Donc (x^n)e^(-x²/2a²) converge sur [b;infini[

Au final, l'intégrale converge sur [0;infini[

Ha et j'avais pas vu, y a des 2 qui se transforment en 4, j'imagine que ce ne sont que des 4.

pourquoi tu veux pas faire comme t'as dit nicomezi ? Au pire sans écrire Riemann, tu dis que pour n fixé x^2 fn(x) -> 0 en +oo donc c'est un o(1/x^2) donc c'est intégrable en +oo (en 0 y'a pas de problème)

ça revient à appliquer les règles de riemann implicitement mais à ce que j'ai compris, on lui demande de faire par majorant.