Ma question est toute simple. Est-ce qu’une matrice NON CARRÉE peut être inversible?

À première vue, je serais tenter de répondre que non. La formule pour inverser une matrice fait intervenir le déterminant et ce dernier n’est pas définie pour une matrice non carrée.

Toutefois, il existe un théorème qui dit que pour une matrice U mXn qui a des colonnes orthonormées le produit U transposé avec U donne la matrice identité... Donc U et U transposé seraient inverse l’une de l’autre?

Tu peux plus facilement le comprendre en raisonnant sur les applications linéaires associés : l'inversibilité d'une matrice se traduit par une bijection de son application linéaire associé, or cette bijection n'est possible que si le cardinal de l'espace de départ et égal au cardinal de l'espace d'arrivée, d'où le fait que ta matrice soit carrée !

Pour ta deuxième remarque, ce critère ne marche pas avec les matrices rectangulaires, car si tu prends l'exemple d'une matrice 2x3, et que tu cherche son inverse (donc une matrice 3x2), tu te retrouves avec un système avec plus d'équations que de variables, donc une infinité de solutions pour l'inverse, ce qui ne respecte pas l'unicité de celle-ci !

Merci! Mais le théorème dont je parle est bel et bien valable pour les matrice rectangulaire. Pour une matrice 2x3, ça ne peut pas marcher car les colonnes d’une telle matrice ne peuvent pas être orthonormées. Mais pour une matrice 3x2, ça peut marcher. J’ai essayé avec la matrice 3x2 suivante:

2/sqrt(6).............1/sqrt(3)

1/sqrt(6)............-1/sqrt(3)

1/sqrt(6)............-1/sqrt(3)

Si tu multiplie cette matrice par sa transposée, tu obtiens la matrice identité 3x3. Toutefois, ce produit ne peut être effectuer que dans un sens, donc j’imagine que ça n’est pas une matrice inverse à proprement parlé.

Merci encore

Sinon y'a les pseudo-inverses.

C’est quoi ça.

(J’ai fais une erreur dans mon dernier post. Il faut faire Utransposé multiplié par U et le résultat est la matrice identité 2x2)

Il existe plusieurs sortes de pseudo-inverse, Prauron pourra te l'expliquer mieux que moi mais en gros on allège certaines contraintes des inverses pour étendre cette notion à d'autres matrices qui au départ ne sont pas inversibles au sens strict !

Comme la matrice que j’ai écrit dans mon avant dernier post?