Exercice 57 :
On considère la fonction f définie par [-0.9;10] par f(x)= 3x-2+ 5/x+1
1) Calculer la dérivée de f et vérifier que f'(x)= 3x²+6x-3/(x+1)²
2) Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser le tableau de variations de la fonction f sur [0.9;10]
3) Montrer que l'équation f(x)= 3 admet exactement deux solutions qui sont 0 et 2/3
4) Démontrer que l'équation f(x)= 5 admet deux solutions notées a et b . Donner des valeurs approchées de a et b au centième
5) On note m un nombre réel . Discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x)= m
1) et 2 ) f(x) admet comme numérateur , une fonction polynome du second degrés avec a = 3 b = 6 et c = -2 de forme ax²+bx+c .
On calcule le discriminant pour déterminer les racines et les variations de la fonction f
I = B²-4*a*c
I = 6²-4*3*(-2)
I = 36-12*-2
I = 36+24
I = 60
I > 0 donc il y a deux racines :
-b-racineI/2a = -.229 -b+racineI/2a = 0.299
Comme dénominateur x+1 qui se caractérise par : décroissante entre -00 et 0] et croissante entre [ 0 : +00[
Donc la fonction est selon le tableau :
décroissante entre -00 , -2.2 et 0.269 puis croissante à partir de 0.269 jusqu'au +00
3) On se sert de (x+1)² pour déduire les solutions de f(x)= 3 soit :
(x+1)² = 3
(x+1) (x+1) = 3
x+1 = 1.5
x = 1/1.5 = 2/3 = 0.6
(x+1)² = 0
(x+1) (x+1) = 0
x+1= 0
x = 0
4) (x+1)² = 5
x+1 = 2.5
x = 1/2.5 = 0.4 et racine4 sont les deux solution
5) la fonction f est une fonction continue et définit sur sur l'intervalle [ -0.9 : 10 ]
Soit M un nombre situé entre f(0.9) et f(10) de la fonction f , alors dans ces conditions l'équation f(x) = M admet au moins une seule solution sur cette intervalle
Bonjour tout le monde , merci de bien vouloir m'aider 
