Voici un petit problème de maths...

On a une suite (Un) définie de la façon suivante:

U1= 0,9
U2=0.99
U3= 0,999
...
Un= 0,9999.....9

La question est de déterminer la limite quand n tend vers +infini du produit:

P= U1 × U2 × U3 × ... × Un

Voilà, n'hésiter pas à faire part de vos idées ; ce problème n'est pas un exercice d'un Dm que je dois rendre mais une question ouverte que je me suis posé.

J'ai quelques pistes, j'attends de voir les votres !

J'ai quelques pistes, j'attends de voir les tiennes !

Qu'attend-t-on exactement?

Déterminer la limite est assez vague, on pourrait surement montrer par des arguments de tiroir qu'elle est irrationnelle, on pourrait surement conjecturer qu'elle est transcendante, et on peut aussi après quelques manipulation avancer sans trop se mouiller qu'elle ne s'exprime pas facilement à l'aide des constantes connues usuelles.

En résumer, à part donner une approximation, on ne pourra pas faire grand chose.

Si, on peut essayer de se la jouer Ramanujan et essayer de fournir un générateur efficient des décimales de la limite, mais ce n'est pas ma tasse de thé puisque mon ordinateur le fait très bien à ma place.

Ta suite peut aussi s'écrire:

U(n+1)=Un+9*10^(-n-1)
Avec U0=0

On a donc:

P= U1*U2*...*Un
=(9*10^-1)*(U1+9*10^-2)*(U2+9*10^-3)*...[U(n-1)+9*
10^n]

=[(9*10^-1)²+(9*10^-1*9*10^-2)]*...*[quelque chose] (flemme de calculer en fait )
=8.1*10^-+8.1*10^2*[quelque chose]
=8.91*10^-1*[quelque chose]

Étant donné que ce quelque chose tant vers 1, on peut en déduire que P n'est pas loin de 8.91*10^-1=0.891.
Il est même légèrement en-dessous, puisque [quelque chose]est inférieur à 1, donc, on va arbitrairement choisir 0.89.

Donc ce produit tend vers 0.89, quelqu'un pour confirmer?

"quelqu'un pour confirmer?"

voici la réponse de M. Aple :

La réponse de Wolfram :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=product%28%2810^%28k%2B1%29-1%29%2F%2810^%28k%2B1%29%29%29

En cliquant sur More digits, on a :

0,8900100999989990000001000099999999899999...

y'a l'air d'avoir un pattern assez étrange

http://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_eta_function

Si quelqu'un veut y jeter un oeil, je pense que ça peut servir

J'ai pas tout compris aux liens wikipédia (j'ai pas cherché à comprendre, de toute façon, je comprendrais pas ), mais il semble que mon raisonnement était bon alors?

Parce que comme tu le dis, Fatalize, il y a un pattern étrange, comme si la limite n'était pas 0.89, mais un autre truc bizarre, avec des 1, des 9, et des 8

En tout cas, j'étais assez proche de la réponse, ça me va