Salut,
voici l'énoncé sur lequel je galère un peu.
J: R² -> R
(x, y) -> 7x² + 48xy - 7y²
En utilisant la méthode des multiplicateur de lagrange, déterminer les extrémas de J sur le cercle de rayon 1 et centre (0,0).
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J'écris l'equation du cercle, et je pose cette contrainte égal à 0:
x² + y² - 1 = 0
Je retourne sur ma fonction J.
Je calcul le gradient:
14x + 48y
-14y+ 48x
Ensuite, je fais de même pour la contrainte:
2x
2y
Je pose la matrice A:
14x + 48y 2x
-14y+ 48x 2y
Je calcul le determinant.
det(A) = 2y(14x+48y) - 2x(48x - 14y)
Je pose = 0
det(A) = 2y(14x+48y) - 2x(48x - 14y) = 0
Donc,
2y(14x+48y) - 2x(48x - 14y) = 0
<=> y(14x+48y) - x(48x - 14y) = 0
<=> 14xy+48y² - 48x² + 14yx = 0
<=> 28xy + 48y² - 48x² = 0
<=> 7xy + 12 y² - 7x² = 0
Je divise tout par y²
<=> 7xy/y² + 12 - 7(x/y)² = 0
<=> 7x/y + 12 - 7(x/y)² = 0
Je pose t = x/y
J'ai alors -7t² + 7t + 12 = 0
Je calcul les solutions de cette équation:
D = b² - 4ac = 49 - 4*(-7*12) = 385 (ça me parait bizarre déjà...).
Donc les solutions sont:
t1 = -7 - sqrt(385)/-14 = 1.9
t2 = (-7 - sqrt(385))/-14 = -0.9
t = x/y
ty = x
Donc dans la contrainte:
x²+y² = 1
t²y² + y² = 1
<=> y²(1+t²) = 1
<=> y² = 1/(1+t²)
J(x,y) = 7x² + 48xy -7y²
<=> 7*t²*y² + 48*t*y - 7y²
Là je commence à être perdu, je vois plus comment m'en sortir...
Merci de m'aider.
