soit f une fonction à valeurs réelles telle que pour tout x et y réels on ai f(x+y) = f(x)+f(y)
montrer que si f est discontinue au voisinage de 0 alors f est discontinue sur R
montrer alors que son graphe est dense dans R²

Difficulté : certaine

J'adopte le cheminement suivant:

f discontinue sur un voisinage de 0 implique f non lineaire.
(trivial)

f non lineaire implique f discontinue sur R.
Raisonner par contraposée et remarquer que si f est continue en a alors f(a)=af(1), puis écrire la définition de la continuité en a. Prendre un point x quelconque non nul,chercher une suite de rationnels qui tend vers a/x, mais pas n'importe comment.

f non lineaire implique (le graphe de f est dense dans R²):
la non linéarité permet de fabriquer une base de R² d'éléments du graphe. Prendre des suites des rationnels pour approximer les scalaires.