Salut, j'ai un DM de spé à rendre Lundi mais je suis bloqué, je vous tape l'énoncé, si vous pouviez m'aider ça serait sympa :D

Le théorème de Wilson :

1)Soit p un nombre pemier (p>=5) et A={2.3.000 p-2}
Montrer que pour tout x de A, x²-1 n'est pas divisible par p
FAIT

2)Soit x appartient à A:
a) Montrer qu'il existe un entier u tel que xu congru à 1 [p]
FAIT

b)En déduire qu'il existe un entier r unique tel que : xr congru à 1 [p] et 1 <= r <=p-1

c) n déduire qu'il exite un entier y unique de A tel que xy congru à 1 [p].
3) a) Démontreralors que 2 x 3 x 4 x ....x(p-2) congru à 1 [p]
b) En déduire que (p-1)! congru à -1 [p]

4) Réciproquementsoit p un entier naturel (p>= 2) tel que (p-1)! congru à -1 [p]
a) Montrer que p est premier avec 2,3,...(p-2) et (p-1).
b) En déduire que p est premier.
() En déduire le théorème de wilson : "un entier naturel p est premier si et seulement si (p-1)!+1 congru à 0[p] ( ne pas oublier les cas p=2 et p=3 ).
Voila si vous pouviez m'aider en commentaire, merci d'avance

Pour la b), tu choisis u tel que xu = 1 [p], et tu prends r le reste de la division euclidienne de u par p. Je te laisse vérifier qu'alors xr = 1 [p]. On a donc l'existence.

S'il en existe un autre, disons r', alors xr = xr' [p], donc x(r-r') = 0 [p].
Autrement dit, p divise x(r-r'). Or p est premier et x appartient à A, donc... Je te laisse conclure.

super merci

auriez vous des idées pour la suite? j'y ai réfléchis toute l'après-midi, et je vois vraiment pas comment faire...

Pour la 2)c), comme r est unique et qu'il est compris entre 1 et p-1, la question revient en fait à montrer que r ne peut valoir ni 1 ni p-1.

Pour la 3)a), il faut utiliser la 2)c), et voir que le produit 2*3*...*(p-2) peut être réécrit, en permutant les termes par 2, avec chaque produit de 2 éléments qui est congru à 1... (ce sont bien des couples de deux éléments distincts de A à chaque fois parce que si x = r on contredit la question 1).

La 3)b) c'est facile.

Fais déjà ça.

j'ai fais la 2)c/ et pour les questions a et b de la 3) je comprends pas ce que tu veux dire :/

Par exemple p = 7.
A = {2,3,4,5}.
En reprenant les notations de 2)c), pour x = 2, y = 4, car 2*4 = 1 [7].
Pour x = 3, y = 5, car 3*5 = 1[7].
On a donc 2*3*4*5 = (2*4)*(3*5) = 1*1 = 1 [7].

Pour p = 11.
A = {2,3,4,5,6,7,8,9}.
Les couples (x,y) de la question 2.c) sont (2,6), (3,4), (5,9) et (7,8).
En effet 2*6 = 3*4 = 5*9 = 7*8 = 1[11].
On a donc 2*3*4*5*6*7*8*9 = (2*6)*(3*4)*(5*9)*(7*8) = 1*1*1*1 = 1[11]

Pour p quelconque c'est la même chose, on va pouvoir regrouper par 2 tous les éléments de A, avec chaque produit de 2 termes congru à 1, grâce à la question 2.c).
La seule chose dont il faut s'assurer c'est qu'on regroupe bien par 2, et donc qu'on n'a jamais x = y. Ceci est assuré par la question 1.

Tu vois le principe ?

merci pour l'explication, j'ai compris ;) en fait les questions précédentes ne sont jamais là par hasard , les maths quoi :')