Bonjour, j'ai besoin d'un peu d'aide là, je suis en T°S :
f et F sont les fonctions définies sur [1;2] par
- f(x)= ln x
- F(x) = Intégrale de 1 à x de f(t) dt
Pour tout n naturels non nuls :
- h = (x-1)/n
- Un = h[f(1)+f(1+h)+f(1+2h)+...+f(1+(n-1)h)]
- Vn = h[f(1+h)+f(1+2h)+f(1+3h)+...+f(1+nh)]
J'ai montré que Vn-Un = (ln x.(x-1))/n et maintenant ils me demandent :
a) de justifier que Un=<F(x)=<Vn (j'ai pensé utiliser les rectangles inférieurs et les rectangles supérieurs mais je suis pas sur)
b) d'en déduire un encadrement de F(x) dont on précisera l'amplitude.
Merci d'avance pour votre aide.

Pour le a), l'interprétation avec les rectangles permet de conclure. En faisant un dessin, tu peux t'apercevoir que Un peut s'interpréter comme la somme des aires de n rectangles de largeur (x-1)/n placés en-dessous de la courbe de f sur [1,x]. Pour montrer que Un <= F(x), tu peux minorer f par f(1+kh) sur tout intervalle de la forme [1+kh,1+(k+1)h] (avec 0<= k <= n-1), puis intégrer pour obtenir Un à gauche et F à droite. Pour Vn, ça marche de la même façon sauf que tu majores f par une quantité constante sur chaque petit intervalle.

Le b) en découle presque immédiatement : Un et Vn fournissent un encadrement de F, dont tu as déjà calculé l'amplitude Vn-Un.

Merci à toi tu m'aides beaucoup

Et pour la question a) et 4b), quelqu'un à une idée ?