Précisément on dit d'une fonction complexe qu'elle est "dérivable" ou "différentiable" ?

Les deux, qui veulent dire la même chose ou pas selon le contexte.

Une fonction C->C dérivable en a peut aussi être dite différentiable (a

différentiable (au sens complexe) en a.

On parle aussi de différentiabilité (au sens réel) d'une fonction C->C en la voyant comme une fonction R²->R², à ce moment là ce n'est pas la même notion, cette dernière étant un peu plus faible :

Voici comme je résumerai la chose :

Holomorphe sur l'ouvert O <=> dérivable (au sens complexe) en a (quelque soit a de O) <=> différentiable (au sens complexe) en a => différentiable (au sens réel) en (Re(a),Im(a))

Mais la dernière implication n'est pas une équivalence.

on perd l'équivalence à cause de cauchy-riemann ?

Oui, les conditions de C-R sont plus fortes que la simple condition de différentiabilité (sur R²)

Il vient aussi que toute fonction holomorphe est analytique. (f(z) est une série convergente)
(la réciproque est vraie)

Euh il me semble que la définition d'une fonction holomorphe c'est une fonction différentiable dont la différentielle est de la forme

h-> zh nan ? Et dans ce cas on a z = f'(a) (en se plaçant au point a )