La représentation dans le plan complexe porte toute l'information du complexe.
Dès lors, on voit qu'il se décrit en particulier par une coordonnée selon les réels, et une selon les imaginaires. Ou encore, on peut décrire plutôt sa position par sa distance à l'origine (son module R) et l'angle qu'il occupe sur le cercle de rayon R.
Quand on s'occupe des conjugués, on voit bien que les deux représentations sont utiles suivant les cas.
a + ib. Avec cette représentation, on sait que le complexe est simplement a -ib
Rexp(i*theta). Avec cette représentation, on voit bien, intuitivement, que pour avoir même partie réelle, et partie imaginaire opposée, il faut se placer sur le même cercle de rayon R, et prendre l'argument opposé. (quelques exemples intuitifs sont en accord, quand theta est dans 0 et Pi et on le retiens alors aisément dans le cas général). Soit conjugué Rexp(i*theta)= Rexp(-i*theta)
On repère également quelques outils de base, type -1=exp(iPi), i=exp(iPi/2), ...
Quand on somme les nombres complexes, la représentation suivant la partie réelle et imaginaire est plus fructueuse. Car la partie réelle est la somme des parties réelles, et la partie imaginaire est la somme des parties imaginaires.
Pour des conjugués, comme les parties imaginaires sont opposées. Cela nous donne les relations simples type: z + conjugue(Z) = 2*Réelle(z) et z - conjugue(z) = 2*Imaginaire(z).
Quand on multiplie les nombres complexes z=z1*..*zn, la représentation en module et argument est plus fructueuse. . Car le module du produit est le produit des modules. (R = R1*...*Rn), et l'argument du produit est la somme des arguments.
Or, avec les nombres conjugué, les arguments sont opposés. Donc z*conjugué(z), donne R^2*exp(0) soit R^2.
On voit aussi que 1=R*(1/R)*exp(itheta)*exp(-itheta), soit que 1/(R*exp(itheta) = 1/R*exp(-itheta). i.e déjà que module(1/z) = 1/module(z) et arg(1/z)=-arg(z)
De la, on se souvient aisément que module(z1/z2)=module(z1)/module(z2) et arg(z1/z2) =arg(z1)-arg(z2) car z1/z2=R1exp(i*theta1)/R2*exp(i*theta2) = (R1/R2)*exp(i*theta1-theta2)
Ces pistes pour intégrer définitivement les quelques relations fondamentales des complexes, sont à compléter d'astuces classiques.
L'arc moitié: 1 + exp(itheta) = exp(i*theta/2)(2cos(theta/2))
1 - exp(itheta) = 2i*(sin(theta/2)*exp(i*theta/2)
On a factorisé par exp(itheta/2) l'expression ce qui fait apparaître des sommes de conjugués. exp(itheta/2)+exp(-itheta/2) = 2*réelle(exp(itheta/2))=2cos(theta/2)
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