Bonsoir à tous!
J'ai un problème sur cette équation : x^x = (√2)÷2
Pour l'instant, voilà ce que j'ai fait:
x^x = (√2)÷2
e^(xln(x))= (√2)÷2
xln(x)=e^( (√2)÷2)
xln(x)=-ln( √2)

Ensuite j'ai commencé une démarche qui me semble utile:
on pose f(x)=xln(x)
f'(x)=ln(x)+1
on calcule f'(x)=0, on trouve x=1/e

Donc je fais un tableau de variations, que voici:

Et donc je peux déjà démontrer qu'il y a deux solutions! Mais comment les déterminer? Ou fallait il passer par une autre methode?
Merci d'avance!

Petite précision, il s'agit de la résoudre dans R.

sqrt(2) /2

Et dans le premier cas, 1/2 n'est pas une solution

Triple post sorry
Ah si, mais pourquoi
Il ya 1/4 aussi, mais je sais pas pourquoi

Je ne sais pas si ça marche, mais racine2 sur 2 me fait penser à cospi/4 et sinpi/4, et avec l exponentielle ça me fait penser aux complexes.

sqrt(1/2)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2 (en multipliant en haut et en bas par srqt(2))

de même (1/4)^(1/4)=sqrt(sqrt(1/4))=sqrt(1/2)=sqrt(2)/2

Ici tu as de la chance, mais dans le cas général résoudre x^x=qqch ne fait pas intervenir des solutions qui sont explicites

J'y ai pensé aussi, mais je vois comment l'utiliser
Mais Cest pas con. Du coup j'utilise la forme polaire, ou la relation comme quoi e^iT = sinT - cosT ?

Ok merci

"e^(xln(x))=(√2)÷2
xln(x)=(√2)÷2)
xln(x)=-ln( √2)"

Y'a que moi qui voit les fautes ENORMISSIMES à chaque ligne ?
La bijection réciproque de l'exp, c'est pas elle même... Et ln est un morphismes de groupe (IR*+, *) dans (IR, +), et non pas un mixe des 2...

J'ai mal recopié, mais c'est quand même n'importe quoi...

Pourrais tu m'expliquer mes fautes plutôt que de sortir une foire de termes s'ilteplait

Je suis d'accord avec la traduction de x^x, qui te donne une exponentielle. Si tu veux te débarrasser de l'exponentielle, il faut composer par ln, non pas par exp. (ln rond exp = exp rond ln = Id, c'est ça qu'on appelle des bijections réciproques).
Ensuite, tu as ln(sqrt(2)/2). Le ln transforme un produit en une somme (morphismes...), donc c'est égal à ln(sqrt(2)) - ln(2). Après tu peux sortir la racine en 1/2.