Salut
j'ai une colle demain sur les eV et un camarade m'a filé les exos qu'il a eu dans sa colle mais je n'ai aucune idée de comment aborder ces exos :
1) Si la famille (e1, e2,...,en) est une base, est ce que la famille (e1, e1+e2,...en-1+en) est une base ?
2) Construire une base de E (un eV) tel que les vecteurs de cette base n'appartiennent pas à l'hyperplan H de E

Pour le 1) je pense que pour montrer que la famille est génératrice, je dois construire un Vect de quelque chose, pour la liberté aucune idee

1) Première remarque : comme ton EV est de dimension n (par hypothèse, t'as une base de cardinal n), t'as pas besoin de montrer la liberté et le caractère générateur, l'un des deux suffit. M'enfin ici, on peut s'en sortir rapidement en se rendant compte qu'on a "transformé" la base initiale (e1,..,en) d'une certaine façon. La question est : peut-on faire machine arrière ?

2) Fais un dessin.

Up

Pour la 1) t'as plusieurs possibilités :
- tu montres que c'est libre (suffit d'appliquer la définition)
- tu montres que c'est générateur : tu te donnes un vecteur x quelconque de E, tu écris sa décomposition sur la base (e1, e2,...,en), et tu en déduis une décomposition sur (e1, e1+e2,...en-1+en) (qui sera en fait unique).
- tu exprimes (e1,...,en) en fonction de (f1,...,fn) = (e1, e1+e2,...en-1+en), ce que propose Hachino.

Pour la 2) je suis pas sûr de comprendre. C'est indépendant de 1) ? On se donne un ev E quelconque, un hyperplan H de E quelconque et tu dois construire une base dont aucun vecteur n'appartient à l'hyperplan ?

Exact, completement independant
merci pour vos idées

Dans ce cas tu choisis u dans E\H, et F = vect(u).
Alors E = H+F (la somme est directe).
Tu prends B une base de H. A partir de u et des vecteurs de B, tu peux facilement construire une base qui convient (faire un dessin est effectivement utile).

J'ai construit une base (ei)=xi+bi
ei appartient a E
xi appartient a E/H
bi appartient à B

Sauf que là t'as pas assez d'éléments. Et t'es pas obligé de prendre un xi différent à chaque fois.
Si B = (e1,...,e(n-1)) est une base de H, et u € E\H, alors B' = (u,e1+u,...,e(n-1)+u) est une base de E.
Là j'ai fait comme si E était de dimension finie, mais en dimension infinie c'est exactement le même principe.

C'est quoi "l'hyperplan de E" ?

H, un sev de codimension 1.

ou de dimension n-1 dans un EV initial de dimension finie n

(je précise car perso j'avais jamais entendu parlé de codimension en sup)

Alors disons un sev dont les supplémentaires sont de dimension 1.
Ou encore le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Comme ça au moins...

Je parlais du "L"

Si tu le nommes ça en désigne un en particulier, donc je vois pas le problème.